Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an, die nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren müssen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW betragen kann.

Bei einem Rennen eines solchen Dragsters wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s), $f(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) an.

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start dar.

a)

(4) Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei muss für $F$ die Bedingung $F'(t)=f(t)$ erfüllt sein.

(i)

Begründen Sie, dass die Bedingung $F'(t)=f(t)$ die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an die Funktion $F$ an, durch die $F$ zusammen mit $F'(t)=f(t)$ eindeutig bestimmt ist.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Dragster-Starts ist es genau auf gleicher Höhe mit dem Dragster. Seine konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ modelliert, wobei $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters angibt.

(2)

Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3)

Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start ungefähr gleich lange Strecken zurück.

Begründen Sie diesen Sachverhalt mithilfe von Abbildung 1.

(4)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_0^1 (g(t)-f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

c)

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, fährt er noch zwei weitere Sekunden mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit grafisch dar.

Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert der Dragster die Ziellinie.]