Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2022

Für $k \in \mathbb{R}$ mit $0 < k \le 6$ werden die Pyramiden $\text{ABCD}_k$ mit $\text{A}(0|0|0)$, $\text{B}(4|0|0)$, $\text{C}(0|4|0)$ und $\text{D}_k(0|0|k)$ betrachtet (vgl. Abbildung 1).

Für jeden Wert von $k$ liegt die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ in der Ebene $\text{L}_k$.

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $\text{A}$ und $\text{Q}(1|1|3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.

Für $k = 6$ enthält die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ der Pyramide den Eckpunkt $\text{Q}$ des Quaders. Für kleinere Werte von $k$ schneidet die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ den Quader in einem Vieleck.

Nun wird die Pyramide $\text{ABCD}_6$, d. h. diejenige für $k = 6$, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der $x_1x_2$-Ebene, haben den Eckpunkt $\text{A}$ gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle reellen Werte mit $0 < h < 6$. Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $\text{Q}_h$ in der Seitenfläche $\text{BCD}_6$ der Pyramide.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $L_k$ in Koordinatenform. [4 BE]

(zur Kontrolle: $x_1 + x_2 + \frac{4}{k} \cdot x_3 = 4$)

e)

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $A$ und $Q(1|1|3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen. Für einen Wert von $k$ verläuft die Seitenfläche $BCD_k$ durch die Eckpunkte $P$ und $R$ des Quaders. Bestimmen Sie diesen Wert von $k$. [3 BE]

(zur Kontrolle: $k = 4$)

f)

Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche $BCD_k$ den Quader schneidet. [4 BE]

Für $4 \le k < 6$:

Eckpunkte

Für $3 < k < 4$:

Eckpunkte

Für $0 < k \le 3$:

Eckpunkte

g)

Nun wird die Pyramide $ABCD_6$, d. h. diejenige für $k = 6$, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der $x_1x_2$-Ebene, haben den Eckpunkt $A$ gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle reellen Werte mit $0 < h < 6$. Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $Q_h$ in der Seitenfläche $BCD_6$ der Pyramide. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts $Q_h$. [4 BE]