Aufgabe 1 (WTR 3) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

1 Aufgabe

Für einen industriellen Produktionsprozess wird ein Behälter verwendet. Im Laufe des Produktionsprozesses enthält der Behälter unterschiedliche Mengen einer Flüssigkeit. Die Füllhöhe der Flüssigkeit im Behälter in Zentimetern wird mit $h$ bezeichnet.

Die Funktion $M$ mit $M(h) = 100 \cdot e^{-0{,}04 \cdot h}$ beschreibt die Abhängigkeit einer Messgröße von $h$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $M$.

a

Geben Sie den Wert von $M$ bei leerem Behälter an. Für die größte zugelassene Füllhöhe hat $M$ den Wert $2$. Berechnen Sie die größte zugelassene Füllhöhe.

b

Nimmt die Füllhöhe um $25\text{ cm}$ ab, so verändert sich der Wert von $M$ vom jeweiligen Ausgangswert zum $k$-fachen dieses Ausgangswerts. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Faktor $k$ unabhängig von der Ausgangsfüllhöhe ist, und geben Sie den Wert von $k$ an.

c

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(h) = \ln(M(h))$ ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Geraden sowie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts des Graphen von $g$ und der $y$-Achse an.