Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$ , die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung $f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \text{ mit } a \in \mathbb{R}.$ besitzt. Alle zugehörigen Graphen liegen symmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$ .

(1)

Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle besitzt, und geben Sie zudem den Grenzwert von $f_1$ für $x \to \infty$ an.

(2)

In Abbildung 1 ist der Graph von $f_1$ dargestellt, das zugehörige Koordinatensystem fehlt jedoch.

Zeichnen Sie die Koordinatenachsen samt passender Skalierung in die Abbildung ein.

Der Graph von $f_0$ stellt eine Gerade dar.

Geben Sie sowohl die Steigung dieser Geraden als auch die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$ -Achse an.

(1)

Für alle reellen Zahlen $a$ , $a_1$ und $a_2$ gelten die nachstehenden Aussagen:

I) $f_a(0) = 0$

II) $f_{a_1}'(0) = f_{a_2}'(0)$

III) $f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \Leftrightarrow a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, welche Schlussfolgerungen diese Aussagen für den Verlauf der Graphen der Schar zulassen.

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Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle besitzt

Lösung: $f_1(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ , da $e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}} \neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ . Somit hat $f_1$ nur eine Nullstelle.

a) (1) und geben Sie zudem den Grenzwert von $f_1$ für $x \to \infty$ an.

Lösung: 0

a) (2) Zeichnen Sie die Koordinatenachsen samt passender Skalierung in die Abbildung ein.

Lösung: Das Koordinatensystem hat seinen Ursprung $(0|0)$ im Wendepunkt des Graphen. Die $x$ -Achse verläuft horizontal durch $(0|0)$ als Asymptote für $x \to \pm\infty$ . Die $y$ -Achse verläuft vertikal durch den Ursprung. Die Skalierung ergibt sich aus dem Hochpunkt $H_1(1|1)$ : Die $x$ -Koordinate des Hochpunkts ist $1$ , seine $y$ -Koordinate ist $1$ . Entsprechend liegt der Tiefpunkt punktsymmetrisch bei $(-1|-1)$ .

b) Geben Sie die Steigung dieser Geraden an.

Lösung: $e^{\frac{1}{2}}$ / $\sqrt{e}$

b) und die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$ -Achse an.

Lösung: $S(0|0)$

e) (1) Geben Sie an, welche Schlussfolgerungen diese Aussagen für den Verlauf der Graphen der Schar zulassen.

Lösung: Alle Graphen der Schar schneiden sich im Koordinatenursprung. Im Koordinatenursprung haben sie die gleiche Steigung. Keiner der Graphen hat einen weiteren Punkt mit einem anderen Graphen der Schar gemeinsam.

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