Aufgabe A3 - Teilaufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie viel Stickstoffdioxid in der Luft enthalten ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Konzentrationswerte aufgenommen und durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \; 0 \le t \le 10$$

beschrieben. Dabei gibt $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden an und $k(t)$ die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie, welchen Wert der Term $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ annimmt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Stickstoffdioxidkonzentration momentan mit $4\;\mu\text{g}/\text{m}^3$ pro Stunde zunimmt.