Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW erreicht.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Sekunden (s), die seit dem Start vergangen ist, und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6} \cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

In den nachstehenden Teilaufgaben sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ trägt dabei die Bezeichnung $f$.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne weiteren Nachweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

Teilaufgabe b)

(1) (i)

Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extremstellen besitzt.

Extremstelle: $t_{\max} =$

(1) (ii)

Geben Sie an, welche maximale Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Die Maximalstelle von $f$ ist $t_{\max} = 6$.]

(2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.