Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Landungen sind ausschließlich bergauf und Starts ausschließlich bergab möglich: Beim Landen rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Starten auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe a (3)

(3)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$]

Teilaufgabe b

Für eine sichere Landung muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine geradlinige, $20\text{ m}$ lange Markierungsstrecke $s$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Sie teilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

(1)

Stellen Sie die Strecke $s$ in Parameterform dar.

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug und fliegt entlang der Geraden$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},$$die die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit $S\left(\frac{652891}{1046a - 2015} + 670 \,\Big|\, 10 \,\Big|\, \frac{-42122a}{1046a - 2015} + 22\right)$ schneidet. [Nachweis nicht erforderlich]

(2) (i)

Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

(2) (ii)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt.