Aufgabe A2 - Teilaufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

c) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x=0$ und $x=3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den beiden Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$.

Die Funktion $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von $h$ und $f$ umschlossen wird.