Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

(1) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate des Absatzes maximal ist,

Lösung: $2{,}5$

und geben Sie diesen Wert an.

Lösung: $3678{,}8$ / $3680$

(2) Zeichnen Sie den Graphen von f für 0 ≤ x ≤ 18. Markieren Sie in Ihrer Zeichnung alle Punkte des Graphen, bei denen die momentane Änderungsrate des Absatzes 1000 Stück pro Monat beträgt.

Lösung: Der Graph startet im Ursprung $(0|0)$, steigt bis zum Hochpunkt bei $(2{,}5 | 3678{,}8)$ an und fällt danach asymptotisch gegen 0 ab. Die beiden Punkte mit Ordinate 1000 liegen bei ca. $x \approx 0{,}36$ und $x \approx 8{,}92$ und sind mit Punkten markiert.

(3) Erläutern Sie diese Berechnungen.

Lösung: Mit der Berechnung werden die lokalen Extremstellen der Änderungsratenfunktion f' (Ableitung von f) bestimmt: f''(x)=0 liefert den Kandidaten x=5, f'''(5)>0 bestätigt ein lokales Minimum von f'.

(3) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten abnimmt

Lösung: $5$

und begründen Sie Ihre Angabe ohne zusätzliche Rechnung.

Lösung: x=5 ist die einzige lokale Extremstelle und somit globales Minimum von f'; da f dort fällt (f'(5)<0), ist die Abnahme dort am stärksten.

(3) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt

Lösung: $0$

und begründen Sie Ihre Angabe ohne zusätzliche Rechnung.

Lösung: Da f bei x=0 steigt (f'(0)>0) und bei x=18 fällt (f'(18)<0) und es keine anderen lokalen Maxima von f' gibt, muss das globale Maximum von f' an der Randstelle x=0 liegen.