Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Haupttermin · GTR

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}$$

a) Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5,\quad x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie die Funktionsgleichung der ersten Ableitung der Funktion $g$ an.

$g'(x) =$

(2)

Berechnen Sie, an welchen Stellen $g$ Extrema besitzt, und bestimmen Sie die jeweilige Art der Extremstelle.

$x_1 =$

$x_2 =$

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}$$

b) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot e^x,\quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=x-3,\quad x \in \mathbb{R}.$$In der Abbildung sind die Graphen von $f$ und $g$ dargestellt.

(1)

Geben Sie die beiden Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie: $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von $f$ und $g$ begrenzt wird.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}$$

c) Die Funktion $f$ ist auf $\mathbb{R}$ definiert und durch $f(x)=x^2$ gegeben.

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}$$

d)

Betrachtet werden die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ sowie die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R}$.

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $D$, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet.

(5 Punkte)

$D($

$|$

$|$

$)$

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}$$

Es seien die Punkte $A(0|0|0)$, $B(8|6|0)$ und $C(4|3|z)$ gegeben, wobei $z$ für eine positive reelle Zahl steht.

(1)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist und $\overline{AB}$ die Basis bildet.

[2 Punkte]

(2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $35$.

Bestimmen Sie $z$ für diesen Fall.

[3 Punkte]

$z =$

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an.

(2)

Berechnen Sie die Extremstellen von $g$ und bestimmen Sie, um welche Art von Extremstelle es sich jeweils handelt.

[1 + 4 Punkte]

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

b) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie die zwei Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot e^x +0{,}5\cdot x^2 -3\cdot x$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, welche die Graphen von $f$ und $g$ miteinander einschließen.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) Die Funktion $f$ ist in $\mathbb{R}$ definiert und durch $f(x)=x^2$ gegeben.

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

d) Pia hat eine Dartscheibe geschenkt erhalten und trifft diese durchschnittlich in etwa $80\,\%$ der Würfe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll im Folgenden als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia macht genau 100 Würfe auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia genau 80-mal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnen lässt, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

e) In Abbildung 2 ist ein noch unvollständiges Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}5$ dargestellt.

Bekannt ist: $P_{4;0{,}5}(X = 0) = 0{,}0625$.

Geben Sie mit Begründung die Werte $P_{4;0{,}5}(X = 3)$ und $P_{4;0{,}5}(X = 4)$ an.

Zeichnen Sie in Abbildung 2 die noch fehlenden Säulen ein.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}\.

a) Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie für die erste Ableitung von $g$ eine Funktionsgleichung an.

$g'(x) =$

(2)

Berechnen Sie, an welchen Stellen $g$ Extrema besitzt, und bestimmen Sie deren Art.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}\.

b) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$In der Abbildung sind die Graphen von $f$ und $g$ dargestellt.

(1)

Geben Sie die beiden Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $g$ miteinander einschließen.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}\.

c) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}\.

d) Es seien die Punkte $A(0|0|0)$, $B(8|6|0)$ und $C(4|3|z)$ gegeben, wobei $z$ für eine positive reelle Zahl steht.

(1)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist und $\overline{AB}$ die Basis bildet.

(2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $35$.

Bestimmen Sie $z$.

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}\.

e) Pia hat eine Dartscheibe als Geschenk erhalten. Im Durchschnitt trifft sie die Scheibe in etwa $80\,\%$ der Würfe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll nachfolgend als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 80-mal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft, und begründen Sie mithilfe des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung von $f$ lautet: $f''(x) = \left(\dfrac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Begründen Sie, warum die Funktion $f$ lediglich eine einzige Nullstelle hat. [2 Punkte]

a) (2)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = \left(-\frac{27}{2}x + 9\right)\cdot \mathrm{e}^{-1,5x}$ die erste Ableitung der Funktion $f$ ist. [2 Punkte]

a) (3)

Untersuchen Sie den Graphen von $f$ mithilfe einer Rechnung auf lokale Extrempunkte. [4 Punkte]

a) (4)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. [2 Punkte]

a) (5)

Ermitteln Sie, an welchen Stellen des Intervalls $[0; 6]$ der Graph von $f$ jeweils die größte und die kleinste Steigung besitzt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b (2)

Für jedes $0 < u \le 6$ sind $O(0|0)$, $P(6|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

b) (2) (i)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $OPQ_u$ für $u = 2$ ein. [1 Punkt]

b) (2) (ii)

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3\cdot f(u)$ berechnen lässt. [2 Punkte]

b) (2) (iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ am größten ist. [2 Punkte]

b) (2) (iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt. [2 Punkte]

Teilaufgabe c

Für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z|f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:

$$\begin{aligned} \text{I: } & t(z) = f(z) \\ \text{II: } & t'(z) = f'(z) \\ \text{III: } & \int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4, \text{ wobei } c \text{ die Nullstelle von } t \text{ ist.} \end{aligned}$$

c) (1) (i)

Begründen Sie die Wahl der Bedingungen I und II. [2 Punkte]

c) (1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III bedeutet. [2 Punkte]

c) (2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Bestimmen Sie für $z = 0{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z|f(z))$ ist. [3 Punkte]

Teilaufgabe d

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x) = 4\cdot k^2\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k\cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Setzt man $k = 1{,}5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$. Setzt man $k = 2{,}6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4\cdot 2{,}6^2\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-2,6\cdot x}$.

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und in einem weiteren Punkt $S$.

d) (1) (i)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$. [2 Punkte]

d) (1) (ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g$ in Abbildung 3. [3 Punkte]

d) (2)

Setzt man einen bestimmten Wert von $k$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $h$, deren Graph in Abbildung 3 dargestellt ist.

Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an. [1 Punkt]

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung von $f$ lautet: $f''(x) = \left(\dfrac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

Teilaufgabe b) (1)

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt von $A$.

FE

Teilaufgabe c) (1) (ii)

Gegeben ist für $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ der Punkt $R(z|f(z))$. Die Funktion $t$ hat als Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Betrachtet wird für $x < z$ der Graph von $f$ und für $x \ge z$ der Graph von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 0{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Der Wert von $z$ lässt sich so bestimmen, dass diese Fläche $4$ Flächeneinheiten groß ist, und zwar mithilfe der folgenden Bedingungen:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\displaystyle \int_{0}^{z} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{z}^{c} t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III bedeutet.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist der Bau eines neuen Teilabschnitts geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden gefertigt. E1 und E4, die äußeren Elemente, haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ ineinander übergehen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2\,\quad x \in \mathbb{R}\.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, warum für alle $x \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(x) = f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

a) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, welchen Höhenunterschied der höchste und der tiefste Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 aufweisen.

a) (3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

a) (4)

Aus Sicherheitsgründen darf die Steigung an der steilsten Stelle der Bahn betragsmäßig höchstens 0,85 betragen.

Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

Teilaufgabe e)

In einem weiteren Skatepark soll ein zu E2 ähnlicher Abschnitt entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h$ verwendet mit

$$h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

e) (1)

Begründen Sie die Beziehung $h'(x) = u \cdot f'(x)$ und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h'$ aus dem Graphen von $f'$ ergibt.

e) (2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den die Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ besitzt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist der Bau eines neuen Teilabschnitts geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden gefertigt. E1 und E4, die äußeren Elemente, haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ ineinander übergehen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2\,\quad x \in \mathbb{R}\.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die obere Randlinie von Element E3 soll eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades als Modell dienen. Ihr Graph soll im Punkt $B$ im Funktionswert und in der Steigung mit dem Graphen von $f$ übereinstimmen (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 soll dabei horizontal $3{,}6\text{ m}$ von $B$ entfernt liegen.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$. [5 Punkte]

$g(x)=$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist der Bau eines neuen Teilabschnitts geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden gefertigt. E1 und E4, die äußeren Elemente, haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ ineinander übergehen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2\,\quad x \in \mathbb{R}\.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er kostet $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen.

Legen Sie im Folgenden für die Modellierung von E3 diese Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x-8{,}4)^2 + \frac{132}{125}.$$

Teilaufgabe d)

d) (1) (i)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen. Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 bestimmen lässt, bei der die Materialkosten genau $10\,800\text{ €}$ betragen.

Die Gleichung liefert die Länge $d \approx 8{,}24\text{ m}$.

d) (1) (ii)

Bestimmen Sie die Höhe, die E4 dadurch erhält.

d) (1) (iii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat.

[Kontrollergebnis: Die Materialkosten für E4 liegen bei etwa $3\,500\text{ €}$.]

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten der beiden Elemente E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

d) (2) (i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten.

d) (2) (ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 geändert, während E4 weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang bleibt. Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 ermitteln lässt, bei der E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ Materialkosten verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung brauchen Sie nicht zu lösen.]

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

a) Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$, bei dem es sich um ein dreieckiges Prisma handelt.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von $B$ an.

Gegeben ist für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis $2:1$ teilen. Geben Sie einen Wert für $a \ge 0$ an, für den $G_a$ dies leistet.

(4)

Für $a = 246$ ist $G_a = D$. Berechnen Sie sowohl den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ als auch das Volumen des Prismas $ABCDEF$. [Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

FE

VE

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b)

(1)

Aufgrund von Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt. Dadurch fällt vom Prisma $ABCDEF$ eine Pyramide mit der Grundfläche $DEF$ weg. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$ einschließen.

°

c)

(3)

Ein weiteres Lufttaxi gelangt im Punkt $Q(16|38|196)$ zur Dachfläche, nachdem es eine Strecke von $45\text{ m}$ in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix}10\\11\\-2\end{pmatrix}$ zurückgelegt hat. Ermitteln Sie den Startpunkt dieses geradlinigen Flugs.

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass $$E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}, \, t \in \mathbb{R},$$ eine Parametergleichung derjenigen Ebene darstellt, welche die Dachfläche $GEF$ enthält.

Sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ werden beschrieben durch$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0, \, t \ge 0, \, s + t \le 1.$$

(2)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich auf einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$ beschrieben werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ mindestens einen Punkt mit der dreieckigen Dachfläche $GEF$ gemeinsam hat.

$s =$

$t =$

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, müssen sie hohe Anforderungen erfüllen. Die Güte einer hochwertigen Schraube hängt von der Qualität des Schraubenkörpers sowie von der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung ab. Im weiteren Verlauf wird eine Schraube nur dann als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

a) Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97\,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1{,}5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stellen Sie die beschriebene Situation in dem nachstehenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_1$: Eine zufällig entnommene Schraube ist fehlerfrei.

$E_2$: Eine zufällig entnommene Schraube hat eine fehlerhafte Beschichtung.

(3)

Die Beschichtung einer zufällig ausgewählten Schraube ist fehlerhaft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist.

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, müssen sie hohe Anforderungen erfüllen. Die Güte einer hochwertigen Schraube hängt von der Qualität des Schraubenkörpers sowie von der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung ab. Im weiteren Verlauf wird eine Schraube nur dann als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

Teilaufgabe b

(1)

Für eine Untersuchung entnimmt man der Produktion zufällig $500$ Schrauben. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $20$ dieser Schrauben fehlerhaft sind.

(2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens $200$ davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ fehlerfrei sind.

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

Teilaufgabe c

(1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl zu produzierender Schrauben, bei der der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion mindestens $5000$ beträgt.

(2)

In der Produktion entstehen $5236$ Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben den Bedarf von „Wind 24“ deckt.

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, müssen sie hohe Anforderungen erfüllen. Die Güte einer hochwertigen Schraube hängt von der Qualität des Schraubenkörpers sowie von der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung ab. Im weiteren Verlauf wird eine Schraube nur dann als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

d) „Wind 24“ reklamiert bei „Schraubenwind“ einen deutlichen Qualitätsverlust der gelieferten Schrauben: Etwa 8 % davon seien defekt. Weil „Wind 24“ der bedeutendste Abnehmer von „Schraubenwind“ ist, entnimmt man der laufenden Produktion zufällig 200 Schrauben und prüft deren Qualität. Die Firmenleitung möchte die Reklamation von „Wind 24“ ablehnen, wenn unter den 200 geprüften Schrauben höchstens neun fehlerhaft sind.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ ablehnt, wenn der Produktionsprozess eine Fehlerquote von 8 % hat.

(2)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ nicht ablehnt, wenn der Produktionsprozess weiterhin lediglich eine Fehlerquote von 4,5 % hat.

Aufgabenstellung:

Eine Firma vertreibt Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$

dargestellt. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband hat die Firma auch eine Smartwatch eingeführt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$

modelliert.

a) (1)

Zeigen Sie: $f'(x) = 4000 \cdot (1 - 0{,}4 \cdot x) \cdot e^{-0{,}4x}$.

a) (2)

Bestimmen Sie rechnerisch, wann die momentane Änderungsrate des Absatzes maximal ist, und geben Sie dieses Maximum an.

a) (3)

Zeichnen Sie den Graphen von $f$ im Bereich $0 \le x \le 18$.

a) (4)

Zwischen der Produkteinführung und dem Ende des 18. Monats danach gibt es einen Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ansteigt, und einen, an dem sie am stärksten sinkt. Um diese beiden Zeitpunkte zu ermitteln, wurde Folgendes berechnet:$$f''(x) = 0 \iff x = 5.$$$$f'''(5) > 0.$$Erläutern Sie diese Berechnungen. Geben Sie die zwei gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne weiter zu rechnen.

Aufgabenstellung:

Eine Firma vertreibt Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$

dargestellt. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband hat die Firma auch eine Smartwatch eingeführt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$

modelliert.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband führte das Unternehmen auch eine Smartwatch am Markt ein. Im Modell wird die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$

beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie fünf Monate nach der Markteinführung die momentanen Änderungsraten des Absatzes von Fitnessarmband und Smartwatch.

(2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Markteinführung insgesamt verkauft wurden.

(3)

Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem seit der Markteinführung ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden. Geben Sie gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an.

Ja

Nein