Aufgabe B5 - Teilaufgabe d(1) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur weiterer Dromedare (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ modelliert mit

$$f_a(t) = a\cdot\left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeder der Graphen jeweils zugeordnet werden kann.

Graph $I$:

Graph $II$:

Graph $III$: