Aufgabe B5 - Funktionen und Scharen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Als Tiere der Wüste erleben Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb steuern durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

d) Die Körpertemperatur weiterer Dromedare lässt sich für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise mithilfe von Funktionen $f_a$ modellieren mit$$f_a(t) = a \cdot \left( -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t \right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Je nach Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und nach Umgebungstemperatur nimmt $a$ unterschiedliche Werte an.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeweils welcher Graph zuzuordnen ist:

Graph I: $a =$

Graph II: $a =$

Graph III: $a =$

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\ \mathrm{^\circ C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ diese Bedingung durch die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ erfüllt wird.

$a \leq$