Aufgabe 1 (WTR 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30-p) \cdot x^3 + (p-90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

Die Abbildung 2 ist im Vergleich zur Abbildung 1 um die Graphen $G_{-80}$ und $G_{250}$ der Funktionen $f_{-80}$ bzw. $f_{250}$ ergänzt.

b)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt. [4 BE]

d)

Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: [5 BE]

„Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15:01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.“

f)

Geben Sie denjenigen Wert von $p$ an, für den $f_p(x)$ mit dem Term der Funktion $f$ übereinstimmt. Beurteilen Sie für jede der Funktionen $f_{-80}$ und $f_{250}$ mithilfe des zugehörigen Graphen, ob die Funktion die Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnte. [3 BE]

g)

Gegeben sind die folgenden Informationen:

Für $p \neq 0$ liefert $f_p'(x)=0$ neben $x_1=0$ und $x_2=2$ die Lösung $x_3=1-\frac{90}{p}$.

Es gilt $x_3 \le 0 \Leftrightarrow 0 < p \le 90$ und $x_3 \ge 2 \Leftrightarrow -90 \le p < 0$.

Beurteilen Sie auch unter Verwendung dieser Informationen die Funktionen $f_p$ mit $p \neq 0$ im Hinblick auf ihre Eignung zur Beschreibung der angenommenen Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr. [4 BE]