Aufgabe WTR 1 - 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

c Zeigen Sie, dass f'(x) = 1/16 · (x - 2)² · (x + 2)² gilt.

Lösung: $$f'(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1 = \frac{1}{16}\cdot(x^4 - 8x^2 + 16) = \frac{1}{16}\cdot(x^2 - 4)^2 = \frac{1}{16}\cdot((x-2)\cdot(x+2))^2$$

d Weisen Sie nach, dass sich die beiden betrachteten Tangenten im Punkt (16/15 | 16/15) schneiden.

Lösung: $$f'(0) = 1, \quad f'(2) = 0, \quad f(2) = \frac{16}{15}$$ Die beiden Tangenten werden also durch $t_1(x) = x$ bzw. $t_2(x) = \frac{16}{15}$ beschrieben. Es gilt: $t_1\left(\frac{16}{15}\right) = t_2\left(\frac{16}{15}\right) = \frac{16}{15}$.

d Zeichnen Sie die beiden Tangenten in die Abbildung 1 ein.

Lösung: Einzuzeichnen sind: 1. Die 1. Winkelhalbierende $t_1(x) = x$ als Gerade durch den Ursprung $(0|0)$ und $(1|1)$. 2. Die waagerechte Gerade $t_2(x) = \frac{16}{15} \approx 1{,}07$ durch den Wendepunkt $W\left(2 \mid \frac{16}{15}\right)$.