Aufgabe A3 - Teilaufgabe f · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

Eine Firma erstellt einen Test, der aus mehreren Fragen besteht. Bei jeder Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort zu erraten, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, ohne sich jemals mit dem Thema befasst zu haben; er wählt daher bei jeder Frage zufällig eine Antwort.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen und wird als binomialverteilt angenommen.

Bedingt durch den Aufbau des Tests ist zu erwarten, dass Jonas beim Raten sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht.

(2)

Jonas möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % mindestens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas hierfür mindestens bearbeiten muss.

(3)

Auch bei einem weiteren Test liegt die Wahrscheinlichkeit, eine Frage durch Raten richtig zu beantworten, bei $\frac{1}{4}$. Die Anzahl der richtig beantworteten Fragen in diesem Test lässt sich durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ beschreiben. Die Standardabweichung von $Y$ ist $3$.

Berechnen Sie, wie viele Fragen dieser Test enthält.