Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 3 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

a) I Für die Risikogruppen B und C sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Krankheit bei genau 99 von 1000 infizierten Menschen ausbricht, etwa gleich groß.

Lösung: Die Aussage ist richtig. In den Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Risikogruppen B und C sind die beiden Säulen für 99 Menschen etwa gleich hoch.

a) II Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Krankheit ausbricht, ist für infizierte Menschen der Risikogruppe C geringer als für infizierte Menschen der beiden anderen Risikogruppen.

Lösung: Die Aussage ist falsch. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass – bei gleicher Anzahl infizierter Menschen – der Erwartungswert für die Anzahl der Menschen, bei denen die Krankheit ausbricht, für die Risikogruppe C größer ist als für die beiden anderen Risikogruppen.

b) Beurteilen Sie die folgende Behauptung: Für binomialverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern n = 1000 und p mit 0 < p < 0,5 nimmt die Varianz mit steigendem Wert von p zu.

Lösung: Die Behauptung ist richtig. Varianz: $1000 \cdot p \cdot (1 - p)$ Stellt man die Werte des Terms $1000 \cdot p \cdot (1 - p)$ in Abhängigkeit von $p$ grafisch dar, so erhält man eine nach unten geöffnete Parabel, die die $p$-Achse bei 0 und 1 schneidet und damit für $p = 0{,}5$ ihren Hochpunkt hat. Folglich nehmen die Werte des Terms für $0 < p < 0{,}5$ mit steigendem Wert von $p$ zu, die Behauptung ist also richtig.