Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben.

Abbildung 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_a(0|0|a)$ gegeben.

Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400$ VE.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers entwirft ein Architekturbüro ein Modell in Form des Körpers mit den Eckpunkten $ABCGEF$; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

Zur Kontrolle: $b = -584$.

Über der Dachfläche ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen, die in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene liegt (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Zugelassene Hilfsmittel

CAS (Computer-Algebra-System)

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Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

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a)(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B$ an.

$B($

$|$

$|$

$)$

a)(2)

Gegeben ist für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei jedem $a \ge 0$ am Punkt $E$ einen rechten Winkel besitzt.

a)(3)

Bestimmen Sie den Wert $0 \le a \le 246$, für den das Dreieck $G_a EF$ einen Flächeninhalt von $780 \cdot \sqrt{41}\;\text{FE}$ besitzt.

$a =$

a)(4)

Setzt man $a = 246$, so ergibt sich $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ besitzt den Flächeninhalt $2400\;\text{FE}$.

Bestimmen Sie das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

b)(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\;\text{m}$ auf $146\;\text{m}$ gekürzt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ durch diese Kürzung kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

$\%$

c)(2)

Berechnen Sie den Winkel, den $E_{\text{Dach}}$ mit der Ebene $E_{\text{Wand}}$ einschließt, welche die Wandfläche $BCFE$ enthält.

$\alpha \approx$

$^\circ$

c)(3)

Über dem Dach soll in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt $2{,}5\;\text{m}$.

Bestimmen Sie rechnerisch die $x_3$-Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P(0 | 100 | z)$.

$z \approx$