Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

a) (1) Geben Sie an, welche Koordinaten N hat.

Lösung: $N(3|0)$

a) (1) Ermitteln Sie, welche Koordinaten der Punkt H hat.

Lösung: $H(3{,}67|2{,}21)$ / $H\left(\frac{11}{3}\Big|\frac{6}{e}\right)$

a) (4) (i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks NPQu in Abhängigkeit von u mit der Gleichung A_{NPQu}(u) = 3 * f(u) berechnen lässt.

Lösung: Als Grundseite des Dreiecks $NPQ_u$ kann die Strecke $\overline{NP}$ verwendet werden. Deren Länge ist $(9-3) = 6$ Längeneinheiten. Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f(u)$ gegeben. Für den Flächeninhalt gilt: $A_{NPQ_u}(u) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot f(u) = 3 \cdot f(u)$.

a) (4) (ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von u der Flächeninhalt des Dreiecks NPQu am größten ist.

Lösung: Da der Flächeninhalt immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f(u)$ und der Funktionswert im Hochpunkt maximal ist, wird der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ für $u \approx 3{,}67$ (ohne Rundung: $u = \frac{11}{3}$) maximal.

a) (4) (iii) Bestimmen Sie sämtliche Werte von u, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks NPQu 4 Flächeneinheiten beträgt.

Lösung: $u \approx 3{,}20$ oder $u \approx 4{,}58$

b) (1) (i) Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt wurden.

Lösung: Die Bedingungen I und II stellen sicher, dass es sich bei der Funktion $t$ um die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $R$ handelt bzw. dass der Übergang „knickfrei“ erfolgt.

b) (2) (i) Bestimmen Sie für z = 3,9428 rechnerisch die Gleichung der Funktion t, deren Graph die Tangente an den Graphen von f im Punkt R(z|f(z)) darstellt.

Lösung: $t(x) = -0{,}9063x + 5{,}6363$ / $t(x) = -0{,}9063(x-3{,}9428) + 2{,}0629$

b) (2) (ii) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion t.

Lösung: $x \approx 6{,}22$

c) (1) Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar gk die x-Achse in nur einem Punkt schneidet.

Lösung: Mit $e^{-k(x-3)} > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ und $k^2 > 0$ gilt: $$g_k(x) = 4k^2(x-3)e^{-k(x-3)} = 0 \iff (x-3) = 0 \iff x = 3$$ Somit gibt es für alle $k > 0$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.

c) (2) Art des Extrempunktes des Graphen von gk in Abhängigkeit von k.

Lösung: Hochpunkt

c) (2) Koordinaten des Extrempunktes des Graphen von gk in Abhängigkeit von k.

Lösung: $H_k\left(3 + \frac{1}{k}\,\Big|\,4k \cdot e^{-1}\right)$

c) (3) (i) Weisen Sie nach, dass sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar gk auf dem Graphen von h liegen.

Lösung: Setzt man $x = 3 + \frac{1}{k}$ in $h(x)$ ein, erhält man: $$h\left(3 + \frac{1}{k}\right) = \frac{4}{e \cdot \left(3 + \frac{1}{k} - 3\right)} = \frac{4}{e \cdot \frac{1}{k}} = 4k \cdot e^{-1}$$ Dies entspricht genau der $y$-Koordinate des Hochpunktes. Somit liegen alle Extrempunkte auf dem Graphen von $h$.

c) (3) (ii) Geben Sie einen Punkt des Graphen der Funktion h an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar gk mit k > 0 ist.

Lösung: $\left(0\,\Big|\,-\frac{4}{3e}\right)$ / Jeder Punkt auf dem Graphen von $h$ mit $x < 3$

c) (5) (i) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von g_{2,6} an.

Lösung: $(3{,}38|3{,}83)$

c) (5) (i) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Graphen von g_{1,5} und g_{2,6}.

Lösung: $S(4|2)$

c) (5) (ii) Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von g_{2,6} in Abbildung 3.

Lösung: Der Graph von $g_{2{,}6}$ verläuft durch die Schnittpunkte $N(3|0)$ und $S(4|2)$ und besitzt seinen Hochpunkt bei etwa $(3{,}38|3{,}83)$.

c) (6) Begründen Sie mithilfe des Hochpunktes und ohne zusätzliche Berechnung, ob a größer oder kleiner als 1,5 ist.

Lösung: größer als 1,5