Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

a) Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$, bei dem es sich um ein dreieckiges Prisma handelt.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von $B$ an.

Gegeben ist für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis $2:1$ teilen. Geben Sie einen Wert für $a \ge 0$ an, für den $G_a$ dies leistet.

(4)

Für $a = 246$ ist $G_a = D$. Berechnen Sie sowohl den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ als auch das Volumen des Prismas $ABCDEF$. [Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

FE

VE

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b)

(1)

Aufgrund von Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt. Dadurch fällt vom Prisma $ABCDEF$ eine Pyramide mit der Grundfläche $DEF$ weg. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$ einschließen.

°

c)

(3)

Ein weiteres Lufttaxi gelangt im Punkt $Q(16|38|196)$ zur Dachfläche, nachdem es eine Strecke von $45\text{ m}$ in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix}10\\11\\-2\end{pmatrix}$ zurückgelegt hat. Ermitteln Sie den Startpunkt dieses geradlinigen Flugs.