Aufgabe B2 - Teilaufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Thema: Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Aus der Prüfung LK · Nachtermin · GTR (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion ff mit f(x)=18x4−34x2,x∈Rf(x) = \frac{1}{8} x^4 - \frac{3}{4} x^2, \quad x \in \mathbb{R}In der Abbildung ist der Graph von ff zu sehen:

Aufgabenstellung:

a) Es sei ff eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der yy-Achse. Außerdem ist der Punkt W2(1|−58)W_2\left(1\middle|-\frac{5}{8}\right) ein Wendepunkt des Graphen von ff.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von ff bestimmen.

Ermitteln Sie anhand der gegebenen Angaben eine Funktionsgleichung für ff.

[Zur Kontrolle: f(x)=18⋅x4−34⋅x2f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2, x∈Rx \in \mathbb{R}.]

f(x)=f(x) =

Aufgabenstellung: Aufgabe B2 - Teilaufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Ermitteln Sie anhand der gegebenen Angaben eine Funktionsgleichung für f. (Lösungsweg)

Lösung: Ansatz: f(x)=a⋅x4+b⋅x2+cf(x)=a\cdot x^4 + b\cdot x^2 + c, f′′(x)=12⋅a⋅x2+2⋅bf''(x)=12\cdot a\cdot x^2 + 2\cdot b. f(0)=0⇒c=0f(0)=0 \Rightarrow c=0 f(1)=−58⇒a+b+c=−58f(1)=-\frac{5}{8} \Rightarrow a+b+c=-\frac{5}{8} f′′(1)=0⇒12⋅a+2⋅b=0f''(1)=0 \Rightarrow 12\cdot a+2\cdot b=0 LGS lösen ergibt a=18a=\frac{1}{8}, b=−34b=-\frac{3}{4}, c=0c=0.

Funktionsgleichung von f

Lösung: 18x4−34x2\frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2

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