Aufgabe A1 b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}$$

b) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot\mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Abbildung sind die Graphen von $f$ und $g$ dargestellt.

(1)

Geben Sie die x-Werte der beiden Punkte an, in denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot\mathrm{e}^x+0{,}5\cdot x^2-3\cdot x$ eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot\mathrm{e}^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $g$ miteinander einschließen.