Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Verteilungen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Güte erkennt man sowohl an der Qualität ihres Schraubenkörpers als auch an der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung.

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Für eine Untersuchung entnimmt man der Produktion zufällig $500$ Schrauben.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $15$ der entnommenen Schrauben fehlerhaft sind.

%

b) (2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens $200$ davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ fehlerfrei sind.

Teilaufgabe c)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

c) (1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl zu produzierender Schrauben, für die der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens $5000$ beträgt.

c) (2)

Produziert werden $5236$ Schrauben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ decken.

%

Teilaufgabe e)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\mathrm{m}$) beschreiben.

e) (1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schichtdicke (in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig gewählten Schraube zwischen $7{,}5$ und $8{,}5$ liegt.

%

e) (2)

Die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\,\mathrm{d}t$ heißt Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit der Dichtefunktion $\varphi$.

In Abbildung 1 ist die Dichtefunktion einer Normalverteilung abgebildet, in Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie für jede der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann.

Ja

Nein

Ja

Nein