Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2022

1 Aufgabe

Das abgebildete Drachenviereck hat die Eckpunkte $A(0|0|0)$, $B(-3|4|35)$, $C(0|0|40)$ und $D(3|-4|35)$.

a

Zeigen Sie, dass die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ einen rechten Winkel einschließen.

[2 BE]

b

Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punkts $E$ auf der längeren Diagonale des Drachenvierecks, für den das Viereck $BCDE$ ein Quadrat ist.

[2 BE]

c

Gegeben sind zusätzlich die Punkte $S_k(8|6|k)$ mit $k \in \mathbb{R}$. Für jeden Wert von $k$ ist das Dreieck $BDS_k$ gleichschenklig mit der Basis $\overline{BD}$. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den $BCS_k$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{BC}$ ist. Begründen Sie ohne zu rechnen, dass für diesen Wert von $k$ auch das Dreieck $CDS_k$ gleichschenklig ist.

[5 BE]