Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben.

Abbildung 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_a(0|0|a)$ gegeben.

Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400$ VE.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers entwirft ein Architekturbüro ein Modell in Form des Körpers mit den Eckpunkten $ABCGEF$; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

Zur Kontrolle: $b = -584$.

Über der Dachfläche ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen, die in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene liegt (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Zugelassene Hilfsmittel

CAS (Computer-Algebra-System)

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b)(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ in Parameterform dar.

b)(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Flugabschnitt bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix},\; k \in \mathbb{R},$$

beschrieben werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $GEF$ enthält.

c)(1)

Durch $E_b: 3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 = b,\; b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

$b =$