Aufgabe A3 e · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR (2022)

Aufgabenstellung

Die Funktion gg wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}\.

e) Pia hat eine Dartscheibe als Geschenk erhalten. Im Durchschnitt trifft sie die Scheibe in etwa 80 %80\,\% der Würfe. Die Zufallsgröße XX: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll nachfolgend als binomialverteilt mit p=0,8p = 0{,}8 gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für XX den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 80-mal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft, und begründen Sie mithilfe des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100 %100\,\% beträgt.

Aufgabenstellung: Aufgabe A3 e · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Erwartungswert E(X)

Lösung: 80

(1) Standardabweichung \sigma(X)

Lösung: 4

(2) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 80-mal trifft.

Lösung: (10080)⋅0,880⋅0,220\binom{100}{80} \cdot 0{,}8^{80} \cdot 0{,}2^{20}

(3) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft

Lösung: 1−0,21001 - 0{,}2^{100}

(3) Begründen Sie mithilfe des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100 % beträgt.

Lösung: 0,2100≈00{,}2^{100} \approx 0, daher 1−0,2100≈1=100 %1 - 0{,}2^{100} \approx 1 = 100\,\%

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