Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=9\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung$$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$Es gilt $g_{1{,}5}=f$.

a) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $x=7$, die $x$-Achse und der Graph der Funktion $f$ begrenzen gemeinsam eine Fläche. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt.

FE

a) (3)

Geben Sie den Wert von $\displaystyle\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ für $w \to \infty$ sowie die geometrische Deutung dieses Wertes an.

c) (4)

Für $x \ge 3$ wird zwischen der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $g_k$ eine nach rechts unbegrenzte Fläche $A$ eingeschlossen. Prüfen Sie rechnerisch, ob der Flächeninhalt von $A$ durch den Parameter $k$ beeinflusst wird.