Aufgaben zu Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

306 Aufgaben zu Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus dem Abitur NRW Mathematik (2017-2026). Mit ausführlicher Lösung.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Stochastik 2026

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit n = 20 und ganzzahligem Erwartungswert. Ermitteln Sie p sowie die Werte v und w für P(X = v) ≈ 0,175 und 0,15 < P(X ≤ w) < 0,25.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Stochastik 2026

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert $\mu = 20$ und der Standardabweichung $\sigma = 2$. Bestimmen Sie die Parameter n und p sowie einen parameterfreien Term zur Berechnung von P(X = 21).

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

1 Aus dem Kundenkreis werden 10 Personen zufällig ausgewählt. X beschreibt die Anzahl der Treuepunktesammler (binomialverteilt). a) Werte für a, b und c in P(X=a) = (b über 3) * c^3 * 0,25^7 angeben und Ereignis beschreiben. b) Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass weniger als 8 Personen Treuepunkte sammeln. c)…

Aufgabe MMS 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsvert… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

Teilaufgaben c, d und e: Binomialverteilte Zufallsgröße X (Anzahl Hip-Hop-Songs bei n = 20, p = 0,32) mit Berechnung von P(X > 5), Deutung der Summenformel im Sachzusammenhang und Bestimmung der Länge des sechsten Liedes bei gegebenem Mittelwert.

Aufgabe WTR 1 - 1 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2026

Teilaufgabe 1: Aus 10 Personen wird eine binomialverteilte Zufallsgröße X betrachtet. Bestimme die Parameter a, b, c und beschreibe das Ereignis. Berechne P(X < 8) und erläutere anhand der Verteilung von Y (p=0,25) die Bestimmung von P(X=6).

Aufgabe WTR 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsvert… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2026

Teilaufgaben c, d und e: Berechnung einer Binomialwahrscheinlichkeit P(X > 5) für n = 20 und p = 0,32, Deutung einer Summenformel im Sachzusammenhang sowie Bestimmung der Liedlänge des sechsten Liedes über den gegebenen Mittelwert.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2026

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 36 und p = 0,5. In Teilaufgabe a ist ein Term für P(X = 27) anzugeben. In Teilaufgabe b sind Erwartungswert μ und Standardabweichung σ zu berechnen und anhand des Histogramms ein Näherungswert für P(μ - 0,5·σ ≤ X ≤ μ + 0,5·σ) zu ermitteln.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 3 b - Zufallsgrößen un… · LK · Teil A · Stochastik 2026

Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden gezogenen Kugeln. Der Erwartungswert von X ist 16. Bestimmen Sie a und b unter Berücksichtigung von a + b = 17.

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

Gegeben sind 10 zufällig ausgewählte Kunden mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 75 % für das Sammeln von Treuepunkten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 8 Personen Treuepunkte sammeln, und erläutern Sie anhand des gegebenen Säulendiagramms der Verteilung B (n = 10, p = 0,25), wie die…

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 3 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

Modellierung der Anzahl ausgegebener Treuepunkte durch eine normalverteilte Zufallsgröße: Berechnung von P(C = 20), Begründung der Modellierung trotz P(C = 1000) > 0 und Beurteilung der Annahme des Managements für einen Einkauf zwischen 95,00 € und 99,99 €.

Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 (a, d, e) · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

Teilaufgabe 1a, 1d und 1e zu Kraftfahrzeugen und Pkw-Alter: Wahrscheinlichkeit P(X <= 170) für n=200, p=0,8; Bestimmung des Median-Intervalls anhand der Säulenanteile sowie mathematischer Zusammenhang und Bedeutung der Untersumme für das durchschnittliche Pkw-Alter.

Aufgabe MMS 3 - Aufgabe 1 (a, d, e) · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2026

Aufgabe 1 (a, d, e): Wahrscheinlichkeit für höchstens 170 Pkw unter 200 Kraftfahrzeugen (Binomialverteilung mit n = 200, p = 0,8); Ermittlung des Median-Intervalls des Pkw-Alters anhand von Abbildung 1 mit Begründung; mathematischer Zusammenhang zwischen Term und Abbildung 1 sowie Bedeutung als untere Schranke für das…

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2026

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße A mit n=10 und p=0,75 für die Anzahl der Treuepunktesammler unter 10 Personen. In Teilaufgabe a ist die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, dass weniger als 8 Personen Treuepunkte sammeln. In Teilaufgabe b ist anhand des Histogramms einer binomialverteilten…

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2026

Modellierung der Anzahl ausgegebener Treuepunkte durch eine diskretisierte Normalverteilung X mit Erwartungswert 19 und Standardabweichung 3. Berechnen von P(C = 20), Begründen der Modellverwendung trotz P(C = 1000) > 0 und Beurteilen der Annahme des Managements bezüglich maximaler Abweichung um zwei Treuepunkte.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (Zufallsgrößen und Wahrscheinli… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2026

Teilaufgabe 1a, 1d und 1e zu Kraftfahrzeugen: Bestimmung von P(X <= 170) für binomialverteilte Zufallsgröße mit n=200, p=0,8; Bestimmung des Zeitintervalls für den Median anhand eines Balkendiagramms und Deutung des Terms als untere Schranke für das Durchschnittsalter.

Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 (Zufallsgrößen und Wahrscheinli… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2026

Teilaufgaben 1a, 1d und 1e: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für höchstens 170 Pkw unter 200 Fahrzeugen (Binomialverteilung mit n = 200, p = 0,8), Ermittlung und Begründung des Zeitintervalls für das Alter des mittleren Pkw (Median) anhand eines Säulendiagramms sowie Erläuterung des mathematischen Zusammenhangs und…

Aufgabengruppe 2 - 1 · GK · Teil A · Stochastik 2025

Binomialverteilung mit p = 0,5 und graphischer Darstellung: a) Begründen, dass n ungerade ist, wenn P(X=10)=P(X=11). b) Näherungsweise Berechnung von P(X=10) aus P(X≥9)≈0,81 und P(X=12)≈0,14.

Aufgabengruppe 2 - 2 b) Zufallsgrößen und Wahrsch… · GK · Teil A · Stochastik 2025

Urnenexperiment mit 1 schwarzen und w weißen Kugeln. Bei Auszahlungen von 8 € (1. Zug schwarz), 4 € (2. Zug schwarz) und 0 € sowie einem Einsatz von 2 € soll der Erwartungswert der Auszahlung gleich dem Einsatz sein. Ermitteln Sie w.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Unter 1000 zufällig ausgewählten Haushalten wird die Zufallsgröße X (Anzahl der überbelegten Haushalte) als binomialverteilt angenommen. In Teil c soll ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aussage beurteilt werden, ob die Verteilung für 90 den größtmöglichen Wert annimmt. In Teil d soll der kleinstmögliche…

Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Teilaufgaben c und d: c) Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(X < 12) bei einer Binomialverteilung mit n = 60 und p = 1/4. d) Skalierung der Achsen im Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erwartungswert E(X) und den zugehörigen Maximalwert P(X = 15).

Aufgabe 1 (WTR 1) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Unter 1000 zufällig ausgewählten Haushalten wird die Zufallsgröße X (Anzahl überbelegter Haushalte) als binomialverteilt angenommen mit n = 1000 und p ≈ 0,0918. c) Beurteilen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aussage, dass die Verteilung für 90 den größtmöglichen Wert annimmt. d) Bestimmen Sie den…

Aufgabe 1 (WTR 2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Berechnung der kumulierten Binomialwahrscheinlichkeit P(X < 12) bei n = 60 und p = 1/4 sowie Skalierung des Histogramms durch Erwartungswert und Maximalwahrscheinlichkeit.

Aufgabe 1 (WTR 3) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Teilaufgaben c, d und e: Deutung einer Binomialsumme im Sachkontext; Nachweis P(X ≤ 6) ≈ 0,77 für n=50, p=0,1; Bestimmung des Mindestpreises pro Glas veganem Brotaufstrich für einen erwarteten Mindestgewinn von 0,50 € pro Glas.

Aufgabengruppe 1 · Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2025

Ein Würfel wird zweimal geworfen. a) Begründen, dass die Wahrscheinlichkeit, bei keinem Wurf eine 3 zu erzielen, 25/36 beträgt. b) Bestimmen des Auszahlungswertes x bei 2 Dreien für ein faires Spiel (Einsatz 2 Euro, Auszahlung bei einer Drei: 5 Euro).

Aufgabengruppe 1 · Aufgabe 2 · LK · Teil A · Stochastik 2025

Vergleich zweier binomialverteilter Zufallsgrößen X₁ und X₂ anhand ihrer Histogramme. In Teilaufgabe a ist zu begründen, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten P(X₁=k) für k von 16 bis 20 größer als 0,5 ist. In Teilaufgabe b ist anhand der abgelesenen ganzzahligen Erwartungswerte nachzuweisen, dass p₂ = 4 · p₁ gilt.

Aufgabengruppe 2 · Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2025

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p (p < 1). P(X = 1) = 14 · P(X = 0) und E(X) = 10. Berechnen Sie die Werte von p und n.

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 (c) · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Teilaufgabe 1c: Es werden 160 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als drei Viertel dieser Personen in einer Großstadt wohnen.

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Aufgabe 2: Bei einer Abfüllanlage für veganen Brotaufstrich (250 g, Minusabweichung 4,5 g) sollen drei Bedingungen bezüglich der tatsächlichen Füllmenge geprüft werden. In Teilaufgabe a ist die Füllmenge normalverteilt mit vorgegebener Dichtefunktion (μ=250, σ=2); es ist zu untersuchen, ob alle drei Bedingungen…

Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Aufgabe 1: Bei einer binomialverteilten Stichprobe von 300 Touristen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,14 soll a) die Wahrscheinlichkeit für genau 36 Radausflügler und b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl um mindestens 10 % größer ist als der Erwartungswert, ermittelt werden.

Aufgabe MMS 3 - Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2025

Für eine Stichprobe von 300 Touristen eines Naturparks (mit p = 0,14) soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass sich genau 36 Radausflügler in der Stichprobe befinden sowie dass die Anzahl um mindestens 10 % größer ist als der Erwartungswert.

Aufgabe 1 c - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsvertei… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Teilaufgabe 1c: Es werden 160 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass weniger als drei Viertel dieser Personen in einer Großstadt wohnen, unter Annahme einer Binomialverteilung mit p = 0,75.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Aufgabe 2: Prüfung dreier Bedingungen für Füllmengenkennzeichnung von 250g-Gläsern bei Normalverteilung (μ=250, σ=2), sowie Begründung für die Gültigkeit von Bedingung III bei Erfüllung von Bedingung II mit freiem σ.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß 14 % das Fahrrad (binomialverteilt). Für eine Stichprobe von n = 300: a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich genau 36 Radausflügler in der Stichprobe befinden. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Radausflügler um…

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Binomialverteilung mit n = 300 und p = 0,14. a) P(X = 36) berechnen. b) Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Anzahl mindestens 10 % größer als der Erwartungswert ist (P(X >= 47)).

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Stochastik 2024

Aufgaben zu Glitzerbällen bei einer Werbeaktion: Zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass drei Kinder jeweils einen Glitzerball erhalten, kleiner als 10 % ist. Zudem ein passendes Zufallsexperiment und Ereignis zum Term (3/5)^4 + 4*(3/5)^3*(2/5) im Sachzusammenhang beschreiben.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Stochastik 2024

Glücksradspiel (zweimal drehen, 10 % grüne Sektoren, Einsatz 3 €, 10 € pro grünem Sektor): a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für genau einen grünen Sektor 18 % beträgt. b) Begründen Sie, dass der Veranstalter erwarten kann, auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und… · GK · Teil A · Stochastik 2024

Formulieren Sie eine Aussage im Sachzusammenhang, die sich in Verbindung mit der Gleichung 0,891 + 0,1 · 0,05 = 0,896 aus der Ungleichung sum_{k=90}^{100} binom{100}{k} · 0,896^k · 0,104^{100-k} > 0,5 ergibt.

Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2024

Berechnen der Wahrscheinlichkeit q für das Erzielen der Ziffer 5 bei einmaligem Drehen, sodass der durchschnittliche Rabatt bei zweimaligem Drehen 9 % beträgt.

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Zeigen, dass die Gleichung 9q² + 12q - 5 = 0 denjenigen Wert für q liefert, mit dem der Erwartungswert des Rabatts 9 % beträgt.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Aufgabe 2 zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit n = 900 und p = 0,68: a) Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 70 % der 900 Personen versuchen, das Problem selbstständig zu lösen; b) Berechnung des Erwartungswerts μ und Bestimmung der kleinsten natürlichen Zahl k mit P(μ - k ≤ X ≤ μ) ≥ 30 %.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 3 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Aufgabe 3 zur Abhängigkeit der Standardabweichung σ von p für n = 15000: Ergänzung der Achsenskalierungen im Koordinatensystem und Erläuterung des Vorgehens.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2024

Glücksrad mit 20 Sektoren (blau oder gelb), 100-mal gedreht. a) Begründen, dass X und Y die gleiche Standardabweichung haben. b) Aus dem Verteilungsdiagramm den Erwartungswert ablesen und die Anzahl der blauen Sektoren bestimmen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Stochastik 2024

Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert 20. a) Geben Sie P(X = 14) an. b) Erläutern Sie die Überlegungen, die zur Näherungsrechnung für P(|X - 20| > 2) mittels Rechtecksfläche und Symmetrie führen.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Stochastik 2024

Untersuchen Sie, ob es möglich ist, die drei nicht sichtbaren Seiten des Würfels (sichtbar: 1, 5, 5) mit Zahlen aus {3, 4, 5, 6} so zu beschriften, dass der Erwartungswert gleich 4 ist, genau drei verschiedene Zahlen vorkommen und die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Werfen zweimal dieselbe Zahl zu erhalten, 1/2…

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 3 · LK · Teil A · Stochastik 2024

Beim viermaligen Werfen eines regulären Tetraeders (Zahlen 1 bis 4) ist die Zufallsgröße X die Anzahl der Einser. In Teil a soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Y (Anzahl der Würfe ohne die Zahl 1) in Abbildung 2 grafisch dargestellt werden. In Teil b soll für das viermalige gleichzeitige Werfen…

Aufgabe MMS 1 · Aufgabe 1 (c) - Binomialverteilung · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2024

Teilaufgabe 1c: Bestimmen der Mindestanzahl von zufällig auszuwählenden Abonnenten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mehr als 20 Personen älter als 40 Jahre sind.

Aufgabe MMS 2 · Aufgabe 1 (a, b) - Binomialverteilung · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2024

Teilaufgabe 1a: Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass sich von 500 Personen mindestens ein Viertel häufig von Fertiggerichten ernährt. Teilaufgabe 1b: Beschreiben eines Zufallsexperiments und des zugehörigen Ereignisses für den Term 1 - Summe_{k=55}^{200} B(200; 0,3; k).

Aufgabe 1 - 1 (c) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Teilaufgabe 1c: Bestimmen der Mindestanzahl an zufällig ausgewählten Abonnenten, damit mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mehr als 5 Personen älter als 40 Jahre sind.

Aufgabe 2 - 1 (c, d) - Zufallsgrößen und Wahrsche… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Teilaufgaben 1c und 1d zu binomialverteilten Zufallsgrößen: Wahrscheinlichkeitsberechnung für P(21 ≤ X ≤ 30) bei n=300, p=0,08 sowie Interpretation eines Gegenereignis-Terms im Sachzusammenhang.

Aufgabe 2 - 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2024

Normalverteilte Laufleistungen V (Erwartungswert 6800 km, Standardabweichung 530 km) und H (Erwartungswert 4600 km, Standardabweichung 480 km). a) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass V um höchstens 600 km vom Erwartungswert abweicht. b) Aussage über das 90%-Quantil von V und Unterschreiten bei H begründen. c) Aus dem…

Aufgabe A2 d · GK · Haupttermin · CAS 2023

Teilaufgabe d: (1) Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die jeweils passende Wahrscheinlichkeit (p₁ = 0,2, p₂ = 0,4, p₃ = 0,8 bei n = 10) zu. (2) Für eine Zufallsgröße X mit n = 10 ist das Histogramm unvollständig gegeben. Es gilt P(X ≥ 4) ≈ 0,35. (i) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 2). (ii)…

Aufgabe A2 e · GK · Haupttermin · CAS 2023

e) (1) Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit p = 0,2 und Standardabweichung σ = 1,2. Berechnen Sie n. (2) Aus einer Urne mit 2 schwarzen und 8 weißen Kugeln wird 9-mal mit Zurücklegen gezogen. (i) Term für die Wahrscheinlichkeit angeben, dass genau 2-mal eine schwarze Kugel gezogen wird. (ii) Ein Ereignis im…

Aufgabe A3 e · GK · Haupttermin · CAS 2023

Binomialverteilungen zuordnen: Histogrammen I bis III jeweils p_1 = 0,2, p_2 = 0,4 oder p_3 = 0,8 zuordnen. Zudem aus einem unvollständigen Histogramm mit P(X >= 4) ≈ 0,35 näherungsweise P(X <= 2) und P(X = 3) berechnen.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Haupttermin · CAS 2023

Teilaufgabe b: Modellierung durch Binomialverteilung (Begründung), Berechnung von P(X >= 6) für n = 20, p = 0,26 und Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der 2-Sigma-Umgebung um den Erwartungswert. Teilaufgabe c: Bestimmung des minimalen Stichprobenumfangs n, damit mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens fünf…

Aufgabe B4 - Teilaufgabe b und c · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Teilaufgaben b und c: Begründung für Binomialverteilung, Berechnung von P(X >= 6), 2-Sigma-Umgebung und Mindeststichprobenumfang n für P(Y >= 5) >= 0,99.

Aufgabe A2 - Aufgabe d · GK · Haupttermin · GTR 2023

Teilaufgabe d: (1) Ordnen Sie den Histogrammen I bis III der Zufallsgrößen A, B und C (jeweils n = 10) die passende Wahrscheinlichkeit p1 = 0,2, p2 = 0,4 oder p3 = 0,8 zu. (2) Für Zufallsgröße X mit n = 10 gilt P(X >= 4) ≈ 0,35. Das Histogramm fehlt bei k = 3. (i) Ermitteln Sie näherungsweise P(X <= 2). (ii) Ermitteln…

Aufgabe A2 - Aufgabe e · GK · Haupttermin · GTR 2023

e) (1) Berechnen von n für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit p = 0,2 und Standardabweichung sigma = 1,2. (2) Urne mit 2 schwarzen und 8 weißen Kugeln, 9-maliges Ziehen mit Zurücklegen. (i) Term für die Wahrscheinlichkeit für genau 2 schwarze Kugeln angeben. (ii) Ereignis im Sachkontext zum Term 0,2^2 * (7 über…

Aufgabe A3 - Aufgabe e · GK · Haupttermin · GTR 2023

e) (1) Histogramme I bis III den Wahrscheinlichkeiten p1=0,2, p2=0,4 und p3=0,8 zuordnen. (2) Bei unvollständigem Histogramm mit P(X >= 4) ≈ 0,35 näherungsweise P(X <= 2) und P(X = 3) ermitteln.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · GK · Haupttermin · GTR 2023

Binomialverteilung für Urlaubsreisen modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen (mindestens 6 Inlandsreisen, 2-Sigma-Umgebung) und minimale Stichprobengröße für mindestens 5 Auslandsreisen bestimmen.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

b) (1) Begründen, warum Binomialverteilung in guter Näherung anwendbar ist. (2) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass von 20 Urlaubsreisen mindestens 6 Inlandsreisen sind. (3) Wahrscheinlichkeit für die 2σ-Umgebung um den Erwartungswert berechnen. c) Mindestanzahl an Fragebögen bestimmen, damit mit mind. 99%…

Teil A - Aufgabe d (Würfelspiel) · GK · Nachtermin · CAS 2023

Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k) für die Anzahl der Sechsen bei 3 Würfen und Nachweis der Fairness des Spiels durch Berechnung des Erwartungswerts.

Teil A - Aufgabe e (Mandarinen) · GK · Nachtermin · CAS 2023

Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit 10 %, dass eine Mandarine Kerne hat. In einer Kiste befinden sich 100 Mandarinen. (1) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X (Anzahl der Mandarinen mit Kernen). (2) Ordnen Sie den Ereignissen A, B und C jeweils den passenden Term…

Aufgabe B4 - Binomialverteilung · GK · Nachtermin · CAS 2023

Berechnungen mit der Binomialverteilung zur Gesichtserkennungssoftware: b) (1) P(X > 40) bei n = 50, p = 0,8; (2) Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert bei n = 100; (3) Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs n, sodass P(X >= 10) >= 0,95; d) Bestimmung der…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe b: Binomialverteilte Zufallsgröße X mit p=0,8. (1) P(X > 40) für n=50 berechnen. (2) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass X für n=100 um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht. (3) Mindeststichprobenumfang n ermitteln, sodass P(X >= 10) >= 0,95. Teilaufgabe d:…

Aufgabe A2 - Teilaufgabe d · GK · Nachtermin · GTR 2023

Würfelspiel mit 3 Würfen, Einsatz 0,50 €. Für jede 6 erhält man 1 €. X gibt den Auszahlungsbetrag an. (1) Geben Sie P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3 € in der Tabelle an. (2) Zeigen Sie, dass das Spiel fair ist.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · GK · Nachtermin · GTR 2023

Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kerne p = 0,1. n = 100. (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Ereignissen A, B, C die passenden Terme (i) bis (vi) zuordnen.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe e · GK · Nachtermin · GTR 2023

e) Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit p = 0,1, dass eine Mandarine Kerne hat. X gibt die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in n = 100 Mandarinen an. (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Den Ereignissen A, B und C jeweils den passenden Term (i)-(vi) zuordnen.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Nachtermin · GTR 2023

Binomialverteilte Zufallsgrößen: Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten P(X > 40) für n=50, p=0,8; P(μ - 1,5σ <= X <= μ + 1,5σ) für n=100; Bestimmung der Mindestanzahl n für P(X >= 10) >= 0,95 sowie Ermittlung der Mindesttrefferwahrscheinlichkeit p für n=100 und P(X >= 90) >= 0,95.

Aufgabe B4 - Binomialverteilung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgaben b und d: Berechnungen zur Binomialverteilung (Trefferwahrscheinlichkeit 80 %): P(X > 40) für n = 50, Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert für n = 100, Bestimmung der Mindestanzahl n für P(X ≥ 10) ≥ 0,95 sowie Mindest-Trefferwahrscheinlichkeit p in…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Stochastik 2023

a) Bestimmung des fehlenden Wertes x_4 einer Wahrscheinlichkeitsverteilung bei gegebenem Erwartungswert E(X) = 3. b) Nachweis, dass die Standardabweichung der Zufallsgröße Y größer als 1 ist.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 b · GK · Teil A · Stochastik 2023

Ermitteln Sie die Höhe des Einsatzes, sodass sich bei wiederholter Durchführung die Einsätze und Auszahlungen (6 Euro bei Eintreten von A oder B) auf lange Sicht ausgleichen.

Aufgabengruppe 2 · GK · Teil A · Stochastik 2023

Bei einem Spiel mit zwei fairen 4-seitigen Tetraedern zahlt Spieler A an B den Betrag x, wenn B eine mindestens um 2 größere Zahl wirft. Bei gleicher Zahl erfolgt keine Zahlung. In allen anderen Fällen zahlt B an A den Betrag y. Berechnen Sie das Verhältnis von x und y für ein faires Spiel.

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Teilaufgabe 2a: Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für den Vertragsabschluss über ein zweistufiges Prüfverfahren. Teilaufgabe 2b: Beurteilung der Auswirkung einer Verkleinerung des Stichprobenumfangs im zweiten Prüfschritt auf 15 Säcke.

Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Binomialverteilung beim 30-maligen Werfen eines Würfels mit Seiten 2 und 4: Begründung für die Binomialverteilung mit p=1/3, Wahrscheinlichkeit für mehr Vieren als Zweien, Interpretation eines Bernoulli-Terms und Erwartungswert der Augensumme.

Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Ein Würfel mit drei Einsen, zwei Dreien und einer Sechs wird 7500-mal geworfen. Bei den ersten 1500 Würfen fällt 735-mal die 1 und 285-mal die 6. a) Bestimmen Sie die relative Häufigkeit der Zahl 3 für die ersten 1500 Würfe. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens 17 % der 7500 Würfe die Zahl…

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

Teilaufgabe 2a: Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertrag abgeschlossen wird. Teilaufgabe 2b: Beurteilen Sie, ohne zu rechnen, ob es für den Großhändler von Vorteil sein könnte, wenn im möglichen zweiten Schritt nur 15 Säcke untersucht würden.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

Aufgabe 1a bis 1d: Ein Würfel mit den Zahlen 2 (viermal) und 4 (zweimal) wird 30-mal geworfen. X zählt die Anzahl der Vieren. a) Begründen, dass X binomialverteilt mit p=1/3 ist. b) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die 4 häufiger als die 2 fällt. c) Term im Sachzusammenhang deuten. d) Erwartungswert für die Summe…

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

Der Würfel aus Abbildung 2 (Seiten mit 1, 3 und 6) wird 7500-mal geworfen. Bei den ersten 1500 Würfen fällt 735-mal die 1 und 285-mal die 6. a) Relative Häufigkeit der Zahl 3 für die ersten 1500 Würfe bestimmen. b) Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass bei höchstens 17 % der 7500 Würfe die Zahl 6 erzielt wird.

Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

1d) Wahrscheinlichkeit bei 100 zufällig ausgewählten Lehrkräften, dass die Anzahl der nicht an Gymnasien Tätigen mindestens viermal so groß ist wie die an Gymnasien. 1e) Interpretation eines binomialen Summenterms im Sachzusammenhang.

Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

In einem Behälter befinden sich 4 weiße und 5 schwarze Kugeln. Einsatz 2 Euro. Zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen; bei weißer Kugel Verdopplung, bei schwarzer Halbierung des Betrags. a) Bedeutung des zweiten Summanden im angegebenen Erwartungswert-Term im Sachzusammenhang angeben und erläutern. b) Verhältnis der…

Aufgabe A2 - e · LK · Haupttermin · CAS 2023

e) (1) Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Für μ = 60 und σ = 6 berechnen Sie p und n. (2) In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. 150-maliges Ziehen mit Zurücklegen. (i) Term für die Wahrscheinlichkeit angeben, genau 60-mal eine schwarze Kugel zu ziehen. (ii)…

Aufgabe A2 - f · LK · Haupttermin · CAS 2023

f) (1) Eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 10 hat P(X ≥ 4) ≈ 0,35. Ermitteln Sie näherungsweise P(X ≤ 2) und P(X = 3). (2) Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die Parameter (n=10, p=0,2), (n=10, p=0,4) und (n=40, p=0,1) zu und begründen Sie.

Aufgabe A3 - f · LK · Haupttermin · CAS 2023

Kenngrößen einer Binomialverteilung bestimmen und Wahrscheinlichkeitsterme im Urnenmodell deuten.

Aufgabe B4 · LK · Haupttermin · CAS 2023

Binomial- und Normalverteilung zur Qualitätskontrolle von Füllmengen bei Olivenölflaschen anwenden

Aufgabe B4 · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Binomialverteilte Qualitätsprüfung von Flaschen und Kartons sowie Modellierung über die Normalverteilung.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · LK · Haupttermin · GTR 2023

Teilaufgabe e: (1) Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ=60 und Standardabweichung σ=6 sind p und n zu berechnen. (2) Aus einer Urne mit 4 schwarzen und 6 weißen Kugeln wird 150-mal mit Zurücklegen gezogen. (i) Term für P(genau 60-mal schwarz) angeben. (ii) Ein Ereignis mit gegebener…

Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · LK · Haupttermin · GTR 2023

f) (1) Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n=10. Ermitteln Sie näherungsweise P(X ≤ 2) und P(X = 3) aus dem unvollständigen Histogramm mit P(X ≥ 4) ≈ 0,35. (2) Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die Werte von n und p zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe f · LK · Haupttermin · GTR 2023

Teilaufgabe f: (1) Aus Erwartungswert mu=60 und Standardabweichung sigma=6 die Parameter p und n bestimmen. (2) Bei 150 Ziehungen mit Zurücklegen (4 schwarze, 6 weiße Kugeln) Wahrscheinlichkeitsterm für genau 60 schwarze Kugeln angeben und einen gegebenen Term als Ereignis beschreiben.

Aufgabe B4 · LK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabe B4: Füllmengenprüfung bei Olivenöl mit Binomialverteilung (Kartons und Lieferungen) und Normalverteilung (Dichtefunktionen und Modellierung).

Aufgabe B4 · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Wahrscheinlichkeitsrechnung im Kontext der Olivenölabfüllung (600 ml Füllmenge): a) Binomialverteilte Größen: (1) Bedeutung von 0,985^12 erklären, (2) P(Y=3) bei n=100 Flaschen, (3) Erste Flasche mit weniger als 600 ml an 4. Stelle, (4) Mindestanzahl Flaschen für Erwartungswert > 780, (5) P(Z >= 5) bei 150 Kartons mit…

Teilaufgabe e (Stochastik) · LK · Nachtermin · CAS 2023

Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kerne 10 %. X ist die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in einer Kiste mit 100 Mandarinen. (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Ereignis im Sachzusammenhang für B(100; 0,1; 4) angeben. (3) Anhand eines Terms begründen, dass die…

Teilaufgabe f (Stochastik) · LK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabe f (Stochastik): Würfelspiel mit 3 Würfen, bei dem jede gewürfelte 6 eine Auszahlung von 1 € bringt. Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k) bestimmen und den Mindesteinsatz für langfristigen Gewinn der Betreiber ermitteln.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabe B4 Teilaufgaben b und c: Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße mit n = 50 und n = 100 (Abweichung um höchstens 1,5 Standardabweichungen), Ermittlung der Mindestanzahl an Videos n für P(X >= 10) >= 0,95 sowie Erklärung der Integrationsgrenzen bei der Normalapproximation mit…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabe B4 (b, c, e): Binomialverteilte Zufallsgrößen bei Gesichtserkennung (Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8). Berechnen von P(X > 40) für n = 50, P(|X - μ| ≤ 1,5σ) für n = 100, Ermitteln des Mindeststichprobenumfangs n für P(X ≥ 10) ≥ 0,95. Erläuterung der Stetigkeitskorrektur anhand von Histogramm und…

Aufgabe e (Stochastik) · LK · Nachtermin · GTR 2023

Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit nur 10 %, dass eine zufällig ausgewählte Mandarine Kerne hat. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in einer Kiste mit 100 Mandarinen an. (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Ereignis zum Term ((100 über 4)…

Aufgabe f (Stochastik) · LK · Nachtermin · GTR 2023

Würfelspiel mit 3 Würfen, bei dem jede gewürfelte 6 einen Auszahlungsbetrag von 1 € einbringt. (1) Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für k in {0 €, 1 €, 2 €, 3 €} in die Tabelle eintragen. (2) Mindesteinsatz bestimmen, damit auf lange Sicht Gewinn erzielt wird.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · LK · Nachtermin · GTR 2023

Teilaufgaben b, c und e: Binomial- und Normalverteilung bei Gesichtserkennungssoftware. Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten P(X > 40) und der Abweichung um höchstens 1,5 Sigma, Bestimmung des Stichprobenumfangs n, Erklärung der Integrationsgrenzen bei der Normalapproximation und Bestimmung der minimalen…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgaben b), c) und e): Binomialverteilung (Trefferanzahl bei Gesichtserkennung mit n = 50, n = 100), Bestimmung der Mindestanzahl an Videos n, Begründung der Integrationsgrenzen bei der Normalverteilungsnäherung mit Stetigkeitskorrektur anhand eines Histogramms, sowie Ermittlung der benötigten…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und… · LK · Teil A · Stochastik 2023

Teilaufgabe b: Die Zufallsgröße X gibt das Produkt der beiden gezogenen Zahlen an. Der Erwartungswert E(X) = 4. Bestimme den Wert der negativen Zahl a.

Aufgabe MMS 1 - 1 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Das Glücksrad mit 10 gleich großen Sektoren (0 bis 9) wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für: A: „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.“ B: „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.“

Aufgabe MMS 1 - 3 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Spiel mit dem 10-teiligen Glücksrad (Zahlen 0 bis 9). Bei einer '0' endet das Spiel ohne Auszahlung, andernfalls wird die Summe ausgezahlt. a) Wahrscheinlichkeit für Auszahlung bei 4 Drehungen. b) Nach Summe 60: Erwartungswert bei einer weiteren Drehung und Handlungsempfehlung. c) Aussage über aufeinanderfolgende…

Aufgabe MMS 2 - 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Teilaufgabe a: Zeigen, dass P(1 Strandkorb) um weniger als 0,001 von 1 abweicht, und Erwartungswert des Gewinns für Personen mit einem Strandkorb berechnen. Teilaufgabe b: Bei n = 80000 den Erwartungswert μ der Personen mit zwei Strandkörben und das kleinste ganzzahlige c bestimmen, sodass P(μ - c ≤ X ≤ μ + c) ≥ 80 %.

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

1 Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A: 'Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.' und B: 'Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.'

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

Aufgabe 3: Glücksradspiel mit Abbruch bei 0. a) Wahrscheinlichkeit für Auszahlung bei 4 Drehungen. b) Erwartungswert bei Stand 60 vor einer weiteren Drehung und Handlungsempfehlung. c) Beurteilung der Aussage über aufeinanderfolgende Werte von n mit gleichen Erwartungswerten 5n * 0,9^n.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 (a, b) - Zufallsgrößen · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

Aufgabe 2 (a, b): Erwartungswert des Gewinns und symmetrisches Wahrscheinlichkeitsintervall der Binomialverteilung beim Strandkorb-Gewinnspiel.

Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

Aufgabe 1 zu fehlerhaften Olivenölflaschen und Kartonlieferungen (Binomialverteilung): a) Interpretation des Terms 0,985^12 im Sachkontext; b) Mindestanzahl gelieferter Flaschen, sodass im Mittel mehr als 780 Flaschen mindestens 600 ml enthalten; c) Wahrscheinlichkeit, dass bei 150 Kartons mehr als 3 % fehlerhaft sind.

Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2023

Normalverteilte Füllmenge (Erwartungswert 600,5 ml, Standardabweichung 0,23 ml). Berechne P(X > 601) und P(600 <= X <= 601), begründe die Sinnhaftigkeit der Normalverteilung für nicht-negative Füllmengen und skizziere/begründe zwei Vorschläge zur Verringerung des Unterfüllungsrisikos.

Aufgabe A2 d · GK · Haupttermin · CAS 2022

Pia wirft n=100 Mal mit p=0,8 auf eine Dartscheibe. (1) Erwartungswert und Standardabweichung berechnen, (2) Term für P(X=80) angeben, (3) Term für P(X>=1) angeben und begründen, dass dieser nahezu 100% beträgt.

Aufgabe A2 e · GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben ist ein unvollständiges Histogramm für n=4, p=0,5. Begründet P(X=3) und P(X=4) angeben sowie die fehlenden Säulen für k=2, 3, 4 im Histogramm ergänzen.

Aufgabe A3 e · GK · Haupttermin · CAS 2022

Pia wirft 100-mal auf eine Dartscheibe (p = 0,8, binomialverteilt). Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X, geben Sie den Term für P(X = 80) an sowie den Term für P(X >= 1) samt Begründung, warum diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100 % beträgt.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Haupttermin · CAS 2022

Binomialverteilte Zufallsgrößen bei Qualitätskontrollen und Schraubenproduktion: Berechnung von kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten, Mindeststichprobenumfang n für P(X >= 200) >= 0,95, Mindestproduktionsmenge für Erwartungswert E(X) >= 5000 und Wahrscheinlichkeit der Bedarfsdeckung.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgaben b und c: Berechnung kumulierter Binomialwahrscheinlichkeiten (P(X ≤ 20)), Bestimmung des minimalen Stichprobenumfangs für eine geforderte Erfolgsanzahl (n ≥ 215), Ermittlung der Mindestproduktionsmenge über den Erwartungswert (n ≥ 5236) sowie Berechnung der Deckungswahrscheinlichkeit (P(X ≥ 5000)).

Aufgabe A2 d · GK · Haupttermin · GTR 2022

Pia wirft n=100 Pfeile mit Trefferwahrscheinlichkeit p=0,8. (1) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. (2) Geben Sie einen Term für P(X=80) an. (3) Geben Sie einen Term für P(X>=1) an und begründen Sie anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100% beträgt.

Aufgabe A2 e · GK · Haupttermin · GTR 2022

Gegeben ist ein unvollständiges Histogramm einer Binomialverteilung mit n=4 und p=0,5 sowie P(X=0)=0,0625. Geben Sie begründet P(X=3) und P(X=4) an und zeichnen Sie die fehlenden Säulen ein.

Aufgabe A3 e · GK · Haupttermin · GTR 2022

Binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 100 und p = 0,8. (1) Erwartungswert E(X) und Standardabweichung σ(X) berechnen. (2) Term für P(X = 80) angeben. (3) Term für P(X ≥ 1) angeben und begründen, dass dieser nahezu 100 % beträgt.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabe B4 b und c: Binomialverteilung anwenden (kumulierte Wahrscheinlichkeit für maximal 20 fehlerhafte Schrauben, Bestimmung des Stichprobenumfangs n für mindestens 200 fehlerfreie Schrauben, Erwartungswert zur Bestimmung der Produktionsmenge sowie Wahrscheinlichkeit für Bedarfsdeckung).

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Aufgabe B4 Teilaufgaben b und c: Binomialverteilte Zufallsgrößen mit fehlerhaften und fehlerfreien Schrauben. Berechnung kumulierter Wahrscheinlichkeiten P(X <= 20), Ermittlung des Mindeststichprobenumfangs n für P(X >= 200) >= 0,95, Erwartungswert-Bedingung E(X) >= 5000 und P(X >= 5000).

Aufgabe d · GK · Nachtermin · CAS 2022

Ein Multiple-Choice-Test hat Trefferwahrscheinlichkeit p = 1/4 durch Raten. Der Erwartungswert ist E(X) = 6. (1) Gesamtfragenanzahl ermitteln. (2) Term für P(X = 6) bei n = 24 angeben. (3) Anhand gegebener Histogramme für n = 5, 6, 7 ermitteln, wie viele Fragen Jonas mindestens beantworten muss, um mit mindestens 80 %…

Aufgabe e · GK · Nachtermin · CAS 2022

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 4 und p = 0,5. (1) Ermitteln Sie die in der Tabelle fehlenden Werte P(X = 1), P(X = 2) und P(X = 3). (2) Entscheiden Sie begründet, welche der beiden Abbildungen 3 und 4 zu X gehört.

Aufgabe B4 - Binomialverteilung · GK · Nachtermin · CAS 2022

Teilaufgabe b: (1) Für n = 200 und p = 0,11 die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 20) berechnen. (2) Für n = 200 und p = 0,43 die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A um höchstens 1,5-Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht. Teilaufgabe c: Mit p = 0,06 den minimalen…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgabe b: (1) Wahrscheinlichkeit P(X >= 20) für Blutgruppe B (n = 200, p = 0,11). (2) Wahrscheinlichkeit P(E) für Blutgruppe A im 1,5-Sigma-Intervall um den Erwartungswert. Teilaufgabe c: Mindeststichprobengröße n, sodass mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens 20 Personen die Blutgruppe 0 negativ…

Aufgabe A2 d · GK · Nachtermin · GTR 2022

Multiple-Choice-Test (p = 1/4): (1) Anzahl Fragen bei Erwartungswert E(X) = 6 ermitteln. (2) Term für P(X = 6) bei n = 24 angeben. (3) Anhand gegebener Histogramme für n = 5, 6, 7 ermitteln, wie viele Fragen mindestens beantwortet werden müssen, damit P(X >= 1) >= 0,80.

Aufgabe A2 e · GK · Nachtermin · GTR 2022

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,5. (1) Ermitteln Sie die in der Tabelle fehlenden Werte P(X = k) für k = 1, 2, 3. (2) Entscheiden Sie begründet, welche der Abbildungen 3 und 4 die kumulierte Verteilung von X zeigt.

Aufgabe A3 e · GK · Nachtermin · GTR 2022

e) Multiple-Choice-Test: p = 1/4. Erwartungswert ist 6. (1) Anzahl Fragen n ermitteln. (2) Term für P(X=6) bei n=24 angeben. (3) Anhand der Histogramme ermitteln, wie viele Fragen Jonas mindestens beantworten muss, um mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Frage richtig zu beantworten.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Binomialverteilung · GK · Nachtermin · GTR 2022

Binomialverteilte Zufallsgrößen bzgl. Blutgruppen untersuchen: Wahrscheinlichkeiten für Mindestanzahl und Sigma-Umgebung berechnen sowie Mindeststichprobenumfang für 95 % Sicherheit bestimmen.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgaben b und c: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsgrößen (mindestens 20 Personen mit Blutgruppe B; Intervall der 1,5-Standardabweichungen um den Erwartungswert für Blutgruppe A) und Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs n, um mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens 20…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Zufallsgrößen und… · GK · Teil A · Stochastik 2022

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kisten an, in die verschiedenfarbige Kugeln gelegt werden. Gegeben sind P(X=0)=0 und P(X=1)=0,6. Bestimmen Sie P(X=2) und P(X=3).

Aufgabe 1 (a–d) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Teilaufgaben a bis d: Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte anhand von Binomialverteilungen im Paketzentrum untersuchen.

Aufgabe 1 (c) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Teilaufgabe 1c: Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass unter 30 ausgewählten Personen die Anzahl derjenigen ohne Kaufinteresse an einem Elektroauto mindestens doppelt so groß ist wie die Anzahl derjenigen mit Kaufinteresse.

Aufgabe 2 (c) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Beschreiben eines Zufallsexperiments und Angabe des passenden Ereignisses im Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term 1 - 10 * 0,3 * 0,7^9 - 0,7^10 berechnet werden kann.

Aufgabe WTR 1 (a-d) · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

Teilaufgaben a bis d: Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit der Binomialverteilung und Deutung von Termen im Kontext eines Paketzentrums.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

Aufgabe 2: Bei zwei Studien ist die Zahl der Infizierten binomialverteilt mit p = 1/3. a) Bei Erwartungswert E(X) = 200: Berechnen Sie die Anzahl der Teilnehmenden n sowie P(X = 200). b) P(X = 30) ≈ 3,6 %. Bestimmen Sie eine mögliche Anzahl der Teilnehmenden.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 3 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

Aufgabe 3: Verteilungsdiagramme dreier Risikogruppen A, B und C bei 1000 Infizierten. a) Beurteilung von zwei Aussagen anhand der Diagramme. b) Beurteilung der Behauptung, dass für B(1000; p) die Varianz für 0 < p < 0,5 streng monoton mit p wächst.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · LK · Haupttermin · CAS 2022

Pia trifft im Mittel zu 80 % eine Dartscheibe (Binomialverteilung mit n = 100, p = 0,8). (1) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. (2) Geben Sie einen Term an für die Wahrscheinlichkeit, genau 80-mal zu treffen, davon 10-mal in den ersten 10 Würfen. (3) Geben Sie einen Term an für die…

Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · LK · Haupttermin · CAS 2022

Abbildung 2 zeigt die Dichtefunktion von A. (1) P(6 <= A <= 10) ≈ 68 %. Berechnen Sie P(A > 10). (2) B ist normalverteilt mit gleichem Erwartungswert wie A, aber größerer Standardabweichung. Skizzieren Sie in Abbildung 2 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von B.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe f · LK · Haupttermin · CAS 2022

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n=100 und p=0,8: (1) Erwartungswert und Standardabweichung berechnen; (2) Term für genau 80 Treffer angeben, davon 10 in den ersten 10 Würfen; (3) Term für mindestens einen Treffer angeben und begründen, dass dieser nahezu 100 % beträgt.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · LK · Haupttermin · CAS 2022

Binomial- und Normalverteilungsrechnungen zur Qualität von Schrauben und Schichtdicken (Teilaufgaben b, c und e). Berechnet werden u.a. P(X=15), n mind. für P(X>=200)>=0.95, n für Erwartungswert E>=5000, P(X>=5000), P(7.5<=X<=8.5) bei Normalverteilung sowie die Zuordnung und Begründung der Graphen für Dichte- und…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgaben b), c) und e): Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung (b1), Bestimmung der Mindeststichprobengröße (b2), Mindestproduktion für Erwartungswert (c1), Wahrscheinlichkeit für ausreichende Produktion (c2) sowie Wahrscheinlichkeitsbestimmung (e1) und begründete Zuordnung der Dichte- und…

Aufgabe e - Dartscheibe · LK · Haupttermin · GTR 2022

Pia wirft n = 100 Pfeile auf eine Dartscheibe (p = 0,8). (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Term für genau 80 Treffer angeben, davon 10 in den ersten 10 Würfen. (3) Term für mindestens einen Treffer angeben und begründen, dass dieser nahezu 100 % beträgt.

Aufgabe f - Normalverteilung · LK · Haupttermin · GTR 2022

Dichtefunktion einer Normalverteilung A mit Erwartungswert 8. (1) P(A > 10) berechnen, wenn P(6 <= A <= 10) ≈ 68 % ist. (2) Einen möglichen Graphen der Dichtefunktion einer Zufallsgröße B mit gleichem Erwartungswert, aber größerer Standardabweichung skizzieren.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Verteilungen · LK · Haupttermin · GTR 2022

Teilaufgaben b, c und e der Abituraufgabe B4: - b(1): Wahrscheinlichkeit für genau 15 fehlerhafte Schrauben bei Stichprobe n = 500. - b(2): Mindestanzahl an Schrauben, damit mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens 200 fehlerfrei sind. - c(1): Mindestproduktion, damit der Erwartungswert für fehlerfreie…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgaben b), c) und e): Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung (b1: genau 15 fehlerhaft aus 500; b2: Mindeststichprobe für mindestens 200 fehlerfreie mit P >= 0,95), Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit bei Großauftrag (c1: Mindestanzahl Schrauben für Erwartungswert >= 5000; c2:…

Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · LK · Nachtermin · CAS 2022

Kenngrößen und Histogramme binomialverteilter Zufallsgrößen: (1) Anzahl Fragen bei Erwartungswert E(X)=6 und p=1/4, (2) Mindestanzahl an Fragen anhand der Histogramme für P(X >= 1) >= 0.8, (3) Anzahl der Fragen bei p=1/4 und Standardabweichung sigma=3.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · LK · Nachtermin · CAS 2022

Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 4 und p = 0,5. (1) Fehlende Werte in der Tabelle für P(X = k) mit k in {1, 2, 3} ermitteln. (2) Begründet entscheiden, welche der Abbildungen 3 und 4 die kumulierten Werte P(X <= k) darstellt.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe f · LK · Nachtermin · CAS 2022

Bei einem Test mit Raten (p = 1/4) ist X binomialverteilt mit E(X) = 6. (1) Ermitteln Sie die Fragenanzahl. (2) Ermitteln Sie anhand dreier Histogramme (n=5, 6, 7), wie viele Fragen man mindestens beantworten muss, damit P(X >= 1) >= 0,8. (3) Ein zweiter Test hat p = 1/4 und Standardabweichung 3. Berechnen Sie die…

Aufgabe B4 - Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · CAS 2022

Binomialverteilungsrechnungen für Blutgruppen unter n = 200 Personen: (1) Wahrscheinlichkeit P(X >= 20) für Blutgruppe B (p = 0,11). (2) Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A (p = 0,43) um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht. (3) Ausschlusskriterien für zwei nicht…

Aufgabe B4 - Teilaufgabe c · LK · Nachtermin · CAS 2022

Bestimmen Sie die Anzahl der zufällig ausgewählten Personen, die mindestens Blut spenden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 20 Blutspenden der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ zu erhalten.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgaben b und c: Binomialwahrscheinlichkeiten berechnen (b1: P(X >= 20) für B mit p = 0,11; b2: P(E) für A im 1,5-Sigma-Intervall), Histogramme drei binomialverteilter Zufallsgrößen zuordnen und unpassende begründen (b3), sowie die Mindestanzahl an Blutspendern für mindestens 20 Spenden von 0 Rhesus negativ mit…

Teil A - Teilaufgabe e (Stochastik) · LK · Nachtermin · GTR 2022

Bei einem Multiple-Choice-Test mit Ratswahrscheinlichkeit p = 1/4 für jede Frage wird die binomialverteilte Anzahl richtiger Antworten betrachtet. (1) Ermitteln der Fragenanzahl n bei Erwartungswert E(X) = 6. (2) Ermitteln der Mindestanzahl an Fragen anhand dreier Histogramme (n=5, 6, 7), damit P(X >= 1) >= 0,8. (3)…

Teil A - Teilaufgabe f (Stochastik) · LK · Nachtermin · GTR 2022

f) Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0,5. (1) Fehlende Werte in der Tabelle für P(X=k) ermitteln. (2) Begründet entscheiden, welche der Abbildungen 3 und 4 die kumulierte Verteilungsfunktion von X darstellt.

Aufgabe B4 - Teilaufgaben b und c · LK · Nachtermin · GTR 2022

Binomialverteilungsaufgaben zu Blutgruppen: b)(1) Wahrscheinlichkeit für mindestens 20 Personen mit Blutgruppe B unter 200 Personen berechnen. b)(2) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A um höchstens 1,5-Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht. b)(3) Anhand von Kenngrößen…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgabe b: (1) P(X ≥ 20) für B(200; 0,11) berechnen. (2) P(E) berechnen für eine Abweichung von höchstens 1,5 Standardabweichungen um den Erwartungswert bei B(200; 0,43). (3) Begründen, warum Abbildung 2 und Abbildung 3 nicht zur Verteilung B(200; 0,11) passen. Teilaufgabe c: Mindeststichprobenumfang n bestimmen,…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2022

Teilaufgabe a: Begründen, dass P(X=4) = P(X=10) für die Augensumme beim zweifachen Würfelwurf gilt. Teilaufgabe b: Den Zufallsgrößen X (Augensumme Würfel) und Y (Anzahl gezogener schwarzer Kugeln bei n=12 mit Zurücklegen, p=0,6) die passenden Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramme I, II oder III zuordnen und…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · LK · Teil A · Stochastik 2022

Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße analysieren: a) Wahrscheinlichkeit P(A > 10) berechnen, wenn P(6 <= A <= 10) etwa 68 % beträgt. b) Möglichen Graphen der Dichtefunktion einer Zufallsgröße B mit gleichem Erwartungswert und größerer Standardabweichung skizzieren.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2022

Für ein Spiel mit 100 Kugeln (rot und blau) bestimmt der Spieler die Anzahl blauer Kugeln. Bei Ziehen einer roten Kugel erhält er die gewählte Anzahl blauer Kugeln in Cent, bei einer blauen Kugel 10 Cent. Ermitteln Sie die Anzahl blauer Kugeln, die den Erwartungswert der Auszahlung maximiert.

Aufgabe 1 d–f · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Aufgabe 1 (d–f): 100 zufällig ausgewählte Kunden. d) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mehr als 50 % Datenschutzbedenken haben. e) Platzhalter a und b im Binomialterm identifizieren und das Gegenereignis beschreiben. f) Untersuchen, ob es ein n > 0 gibt, für das die Wahrscheinlichkeit für 0 Kunden mit…

Aufgabe 1 d–e · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Aufgabe 1 (d–e): Deutung des Terms Summe_{i=470}^{490} B(600; 0,8; i) im Sachzusammenhang und Bestimmung der größten natürlichen Zahl k mit P(X < k) < 0,25 für n=600 und p=0,2.

Aufgabe 3 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Aufgabe 3: Normalverteilung mit Standardabweichung 1,25 Minuten. a) Untersuchung, ob ein 2-Minuten-Intervall mit Wahrscheinlichkeit mindestens 60 % existiert. b) Berechnung von P(Y >= 5), wenn P(Y <= 3) = 15 % ist.

Aufgabe 1 a–b · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Aufgabe 1 (a–b): Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten für binomialverteilte Stichproben (n = 200, p = 0,02) zur Anzahl unrunder Tischtennisbälle.

Aufgabe 1 (d–f) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

100 Kunden werden ausgewählt. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 50 % Datenschutzbedenken haben. e) Geben Sie an, wodurch a und b im vorgegebenen Term für das Gegenereignis zu ersetzen sind, und beschreiben Sie das zugehörige Ereignis. f) Untersuchen Sie, ob es ein n > 0 gibt, für das die…

Aufgabe 1 (d–e) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

Teilaufgabe d: Bedeutung des binomialverteilten Summenterms für n=600, p=0,8 von 470 bis 490 im Sachzusammenhang beschreiben. Teilaufgabe e: Größte natürliche Zahl k bestimmen, für die P(X < k) < 0,25 bei X ~ B(600; 0,2) gilt.

Aufgabe 3 - Normalverteilung · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

Die Wartezeit beim Anrufen der Service-Hotline ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 1 Minute und 15 Sekunden. a) Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall mit einer Länge von zwei Minuten gibt, in dem die Wartezeit mit mindestens 60 % Wahrscheinlichkeit liegt. b) Mit P(Y ≤ 3) = 15 % berechnen Sie die…

Aufgabe A2 Teilaufgabe d) - Binomialverteilung · GK · Haupttermin · CAS 2021

Teilaufgabe d): (1) Erwartungswert und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit n=100 und p=0,5 berechnen. (2) Aus P(X >= 61) ≈ 2 % den Wert für P(40 <= X <= 60) unter Nutzung der Symmetrie bestimmen.

Aufgabe A2 Teilaufgabe e) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Haupttermin · CAS 2021

Teilaufgabe e): (1) Begründen, dass bei einem Wurf zweier Würfel die Wahrscheinlichkeit für keine '6' 25/36 beträgt. (2) Bei n=36 Würfen für jede der Abbildungen 4, 5 und 6 begründen, warum sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X zeigt.

Aufgabe A3 Teilaufgabe e) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Haupttermin · CAS 2021

Zwei Würfel werden geworfen. (1) Begründen, dass P(keine 6) = 25/36. (2) Für n = 36 und p = 25/36 begründen, warum die Abbildungen 4, 5 und 6 nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellen.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Binomialverteilung · GK · Haupttermin · CAS 2021

Teilaufgabe a zu Zufallsgrößen und Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse bei X ~ B(250; 0,7) berechnen, Verhalten bei Veränderung von k beschreiben und Schwellenwert für P(X >= k) <= 60 % bestimmen.

Aufgabe d · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 100 und p = 0,5. (1) Berechne den Erwartungswert E(X) und die Standardabweichung sigma(X). (2) Gegeben ist P(X >= 61) ca. 2 %. Bestimme unter Verwendung der Symmetrie den Wert für P(40 <= X <= 60).

Aufgabe e (2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Zwei Würfel werden 36-mal geworfen. X ist die Anzahl der Würfe ohne '6'. Begründen Sie für Abbildung 4, 5 und 6 jeweils, warum sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

Aufgabe B4 · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Binomialverteilte Zufallsgrößen im Kontext von praktischen Führerscheinprüfungen: Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen, Verhalten bei Veränderung von k analysieren, Mindestwert für k ermitteln, Fehler 1./2. Art kontextbezogen bestimmen und anhand eines Histogramms interpretieren.

Aufgabe d · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

d) Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 25 und p = 0,5. (1) P(X <= 10) ≈ 0,2122 gegeben, ermitteln Sie P(X >= 11). (2) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. (3) Geben Sie P(X <= 12) an.

Aufgabe e · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Ansätze I, II und III für binomialverteilte Zufallsgrößen den Arbeitsaufträgen A, B bzw. C zuordnen und zu Ansatz II einen passenden Arbeitsauftrag formulieren.

Aufgabe B4 - Wahrscheinlichkeitsverteilungen · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Binomialverteilung für n = 800 und p = 0,2: Interpretation von P(X = 160), Berechnung von P(X <= 180), P(X > 170), Abweichung um mehr als 5 vom Erwartungswert, Bestimmung der Mindesteinblendungsanzahl für P(X >= 1) >= 0,90 sowie Kostenvergleich zweier Bezahloptionen.

Aufgabe A2 - Aufgabe d · GK · Haupttermin · GTR 2021

Teilaufgabe d: Kenngrößen und Symmetrie einer Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,5. (1) Erwartungswert und Standardabweichung berechnen. (2) Aus P(X >= 61) = 2 % die Wahrscheinlichkeit P(40 <= X <= 60) bestimmen.

Aufgabe A2 - Aufgabe e · GK · Haupttermin · GTR 2021

Teilaufgabe e: (1) Begründen, dass beim gemeinsamen Wurf zweier Würfel die Wahrscheinlichkeit für keine '6' gleich 25/36 ist. (2) Für drei Histogramme (Abbildungen 4, 5 und 6) einer 36-fachen Wiederholung begründen, dass keines die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

Aufgabe A3 - Aufgabe e · GK · Haupttermin · GTR 2021

Zwei Würfel werden geworfen. (1) Begründen Sie, dass P(keine 6) = 25/36 ist. (2) Die Würfel werden 36-mal geworfen. Begründen Sie für die Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Verteilung von X zeigen.

Aufgabe B4 - Binomialverteilung · GK · Haupttermin · GTR 2021

Teilaufgabe a: Für 250 binomialverteilte Führerscheinprüfungen mit p = 0,7 sind Wahrscheinlichkeiten für P(X <= 160), P(X >= 200) und die Abweichung um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert zu ermitteln. Danach sind P(X >= 165), das Monotonieverhalten bei Variation von k und der kleinste ganzzahlige…

Aufgabe d - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,5. Berechnen Sie Erwartungswert E(X) und Standardabweichung sigma(X). Bestimmen Sie P(40 <= X <= 60) unter Verwendung von P(X >= 61) ca. 2 %.

Aufgabe e (2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Zwei Würfel werden 36-mal geworfen. Begründen Sie für jede der Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X (Anzahl der Würfe ohne '6') zeigt.

Aufgabe B4 (a) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Binomialverteilung mit n = 250 und p = 0,7. (1) Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten für E1 (höchstens 160), E2 (mindestens 80 % = 200) und E3 (Abweichung um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert). (2) Wahrscheinlichkeit P(X >= 165) berechnen, Verhalten von P(X >= k) bei Veränderung von k beschreiben und…

Aufgabe d · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Standardabweichung für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n = 25 und p = 0,5.

Aufgabe e · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Zuordnung der mathematischen Ansätze I, II und III zu Arbeitsaufträgen A, B und C bei einer binomialverteilten Zufallsgröße sowie Formulierung eines Arbeitsauftrags für den nicht zugeordneten Ansatz.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe b) und c): Analyse von binomialverteilten Webseitenaufrufen (n=800, p=0,2), Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, Abweichung vom Erwartungswert, Stichprobenumfang für mindestens einen Klick und Kostenvergleich zweier Bezahloptionen.

Aufgabe A2 - Aufgabe d - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · GK · Nachtermin · CAS 2021

d) Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,2. Entscheiden und begründen Sie für drei Aussagen: (1) Erwartungswert und Standardabweichung sind gleich groß; (2) P(X = 2) = 0,2^2 * 0,8^2; (3) X kann Ziehen von 4 Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 1 schwarzen und 4 weißen Kugeln beschreiben.

Aufgabe A2 - Aufgabe e(2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Nachtermin · CAS 2021

Das Spiel wird 10-mal durchgeführt. Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass in mindestens 9 Spielen genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Aufgabe A3 - Aufgabe e - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · GK · Nachtermin · CAS 2021

Teilaufgabe e: Wahr/Falsch-Entscheidung und Begründung für drei Aussagen zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit n = 4 und p = 0,2 (Erwartungswert/Standardabweichung, Bernoulli-Formel, Ziehen ohne Zurücklegen).

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Nachtermin · CAS 2021

E-Scooter Nutzungsdauer: a) mittlere Nutzungsdauer und Anteil privater Haushalte berechnen (Erwartungswert einer diskreten Mischverteilung). b) Binomialverteilung mit n=200, p=0,1: P(X<17), P(X≥E(X)); Ansatz für P(X=15) vervollständigen, Ereignis nennen und Bestandteile interpretieren. c) Mit n=150 bzw. n=50:…

Teilaufgabe d · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Entscheiden Sie für drei Aussagen über eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n = 4 und p = 0,2, ob sie wahr oder falsch sind, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

Teilaufgabe e (2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Das Spiel wird 10-mal durchgeführt. Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass in mindestens 9 Spielen genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Aufgabe B4 · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

E-Scooter: a) Nutzungsdauer und Anteilsbestimmung mit gewichtetem Mittel; b) Binomialverteilung mit n=200, p=0,1 (E1, E2, unvollständiger Ansatz mit Binomialkoeffizient); c) Binomialverteilung mit n=150 bzw. n=50 zur Bewertung einer Werbekampagne und Interpretation eines Ansatzes mit zwei Summanden.

Teil A2 - Aufgabe d · GK · Nachtermin · GTR 2021

Teilaufgabe d: Entscheiden Sie für drei Aussagen über eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n=4 und p=0,2, ob sie wahr oder falsch sind, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

Teil A3 - Aufgabe e · GK · Nachtermin · GTR 2021

Teilaufgabe e: Aussagen über eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n=4 und p=0,2 beurteilen (wahr oder falsch mit Begründung). (1) Erwartungswert und Standardabweichung sind gleich groß. (2) P(X=2) = 0,2^2 * 0,8^2. (3) Beschreibt Ziehen ohne Zurücklegen von 4 Kugeln aus Urne mit 1 schwarzer und 4 weißen Kugeln.

Aufgabe B4 · GK · Nachtermin · GTR 2021

Aufgabe B4: E-Scooter-Nutzung. a) Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer bzw. den Anteil privater Haushalte bei gegebenen Mischverhältnissen. b) Binomialverteilte Zufallsgröße X (n=200, p=0,1): Wahrscheinlichkeiten für E1 (weniger als 17) und E2 (mindestens Erwartungswert) bestimmen; unvollständigen Ansatz…

Aufgabe d - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n=4 und p=0,2 sind drei Aussagen begründet als wahr oder falsch zu beurteilen: (1) Erwartungswert und Standardabweichung sind gleich groß; (2) P(X=2)=0,2²·0,8²; (3) Modellierung für Ziehen von 4 Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 1 schwarzen und 4 weißen Kugeln.

Aufgabe e - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Das Spiel wird 10-mal durchgeführt. Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass in mindestens 9 Spielen genau eine schwarze Kugel gezogen wird.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

a) (1) Bestimmen Sie die mittlere Nutzungsdauer der E-Scooter, wenn 90% an Verleihfirmen (30 Tage) und 10% in private Haushalte (365 Tage) gehen. (2) Ermitteln Sie den Anteil der E-Scooter für private Haushalte, wenn die mittlere Nutzungsdauer 120 Tage beträgt. b) Mit X binomialverteilt (n=200, p=0,1): (1) berechnen…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Stochastik 2021

a) Begründen, dass beim einmaligen gemeinsamen Wurf zweier Würfel die Wahrscheinlichkeit, dass keine „6“ auftritt, 25/36 beträgt. b) Begründen, warum die drei dargestellten Abbildungen nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X (Anzahl der Würfe ohne „6“ bei n = 36) zeigen.

Aufgabengruppe 2 · GK · Teil A · Stochastik 2021

Teilaufgabe a: Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(X = ...) einer binomialverteilten Zufallsgröße vervollständigen. Teilaufgabe b: Anhand der Symmetrie der Verteilung P(Y = 14) aus P(Y ≤ 15) und P(Y = 12) berechnen.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2021

Teilaufgaben d, e und h: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße (Punktwahrscheinlichkeit und kumulierte Wahrscheinlichkeit bezüglich des Erwartungswerts) sowie Bestimmung möglicher Stichprobenumfänge n.

Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2021

Smartphone-Spiel mit Sternen (Binomialverteilung mit n = 10, p = 0,4) und Bonuspunkten. Berechnet werden kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Beurteilung der stochastischen Unabhängigkeit, zweistufige Wahrscheinlichkeitsrechnung, inverse Parameterbestimmung sowie Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswerte von…

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2021

Analyse eines Histogramms einer binomialverteilten Zufallsgröße für n = 20 (Teilaufgabe c), Bestimmung der Parameter m und n sowie Deutung eines Terms für zwei Paletten (40 Becher) (Teilaufgabe d) und Berechnung des Erwartungswertes der Kosten pro Becher (Teilaufgabe e).

Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2021

Teilaufgaben a, b, c, d und g: Binomialverteilungen zu Sternengewinnen untersuchen und geänderte Wahrscheinlichkeiten über den Erwartungswert bestimmen.

Aufgabe 3 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2021

Teilaufgabe c: Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 500 zufällig ausgewählten Beschäftigten mehr als 400 befinden, die mit ihrem Gehalt zufrieden sind. Teilaufgabe d: Bedeutung des Terms 1 - sum_{i=0}^{400} binom(600,i) * 0.23^i * 0.77^{600-i} im Sachzusammenhang beschreiben.

Aufgabe e · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 100 und E(X) = 50. (1) Standardabweichung berechnen. (2) Wahrscheinlichkeit P(40 <= X <= 60) anhand P(X >= 61) ≈ 2 % bestimmen.

Aufgabe f · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Gewinnspiel mit Einsatz 3 € und Verteilung von A: (1) Zeigen, dass p = 1/6. (2) Ausgeglichenes Spiel: Wert von b berechnen. (3) Urnenmodell mit roten, grünen und blauen Kugeln beschreiben.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe a: Ereigniswahrscheinlichkeiten, kumulierte Wahrscheinlichkeiten und Schwellenwerte einer Binomialverteilung berechnen (n = 250, p = 0,7). Bestimmung von P(E1) mit höchstens 160 bestandenen Prüfungen, P(E2) mit mehr als 80 % bestandenen Prüfungen, Erwartungswert mu und P(E3), P(X >= 165) sowie des…

Aufgabe e · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n=25 und p=0,5 sind der Erwartungswert und die Standardabweichung zu berechnen. Gegeben ist P(X <= 10) ≈ 0,2122; daraus sind P(X >= 11) und P(11 <= X <= 12) zu ermitteln.

Aufgabe f · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Zuordnung von mathematischen Ansätzen I, II, III zu den Arbeitsaufträgen A, B, C zur Binomialverteilung. (1) Zuordnung für passende Ansätze angeben. (2) Einen passenden Ansatz zum übrig gebliebenen Arbeitsauftrag A angeben. (3) Einen passenden Arbeitsauftrag zu Ansatz II formulieren.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 800 und p = 0,2. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X <= 180), P(X > 170) und P(|X - μ| > 5). Bestimmen Sie n, sodass P(X >= 1) >= 0,90. b) Vergleichen Sie zwei Kostenoptionen (Option 1: 0,06 € je Einblendung; Option 2: 0,28 € je Aufruf) und berechnen…

Teil A2 - Aufgabe e · LK · Haupttermin · GTR 2021

Binomialverteilung mit n = 100 und Erwartungswert E(X) = 50. (1) Standardabweichung berechnen. (2) Mit P(X >= 61) ≈ 2% den Wert für P(40 <= X <= 60) bestimmen.

Teil A2 - Aufgabe f · LK · Haupttermin · GTR 2021

Gewinnspiel mit Einsatz 3 Euro und Auszahlung A nach Verteilung aus Abb. 5. (1) Zeigen, dass p = 1/6. (2) Ausgleichen von Einsatz und Auszahlung -> Wert von b berechnen. (3) Modellierung mit Urne und roten, grünen und blauen Kugeln beschreiben.

Teil A3 - Aufgabe f · LK · Haupttermin · GTR 2021

Gewinnspiel mit Einsatz 3 Euro und Zufallsgröße A (Auszahlung). Wahrscheinlichkeiten p, 3p, 2p. (1) Zeigen, dass p = 1/6. (2) Wert von b bei fairem Spiel berechnen. (3) Urnenmodell mit roten, grünen und blauen Kugeln beschreiben.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Haupttermin · GTR 2021

Berechnungen zur Binomialverteilung für Führerscheinprüfungen (n = 250, p = 0,7) für Ereignisse E1, E2, E3, P(X >= 165), Bestimmung von k mit P(X >= k) <= 0,60 sowie Bestimmung von n und p aus Erwartungswert und Standardabweichung.

Teil A - Aufgabe e · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 100 und E(X) = 50. (1) Standardabweichung von X berechnen. (2) Bei P(X >= 61) ≈ 2 % den Wert für P(40 <= X <= 60) bestimmen.

Teil A - Aufgabe f · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Gewinnspiel mit Einsatz 3 Euro und Auszahlung A nach Abbildung 5. (1) Zeigen, dass p = 1/6 ist. (2) Aus E(A) = 3 den Wert b bestimmen. (3) Gewinnspiel mit Behälter und roten, grünen und blauen Kugeln beschreiben.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 250 und p = 0,7 (Düsseldorf): Wahrscheinlichkeiten für E1 (höchstens 160), E2 (mehr als 80 %), E3 (um 5 größer als der Erwartungswert), P(X >= 165) sowie Mindestwert von k für P(X >= k) <= 0,60 berechnen. Für Standort Bielefeld aus mu = 255 und sigma = 6,18 Stichprobenumfang n…

Aufgabe e · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 25 und p = 0,5. (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Mit P(X <= 10) ≈ 0,2122 die Wahrscheinlichkeiten P(X >= 11) und P(11 <= X <= 12) ermitteln.

Aufgabe f · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Zuordnung von mathematischen Ansätzen zu Arbeitsaufträgen bei Binomialverteilungen (Ansatz I, II, III und Arbeitsaufträge A, B, C), Angabe des fehlenden Ansatzes zu A und Formulierung des passenden Arbeitsauftrags zu Ansatz II.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe a: Wahrscheinlichkeiten für höchstens 180 bzw. mehr als 170 Aufrufe bei n=800 und p=0,2; Wahrscheinlichkeit, dass Aufrufe um mehr als 5 vom Erwartungswert abweichen; Mindestanzahl n für P(X >= 1) >= 0,9. Teilaufgabe b: Wahrscheinlichkeit, dass Option 2 günstiger als Option 1 ist.

Aufgabe e (A2) - Binomialverteilte Zufallsgröße · LK · Nachtermin · CAS 2021

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,2. Entscheiden Sie für drei Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung: (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X sind gleich groß. (2) P(X = 2) = (4 über 2) * 0,2^4 * 0,8^2. (3) P(X = 0) = P(X = 1).

Aufgabe f(2) (A2) - Bernoulli-Kette im Sachkontext · LK · Nachtermin · CAS 2021

Teilaufgabe f(2): Geben Sie ein Ereignis E im Sachzusammenhang an, für das P(E) = (10 über 8) * 0,7^8 * 0,3^2 gilt.

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · CAS 2021

a) (1) Mittlere Nutzungsdauer bei 90% Verleih/10% privat bestimmen; (2) Anteil privater Produktion bei mittlerer Nutzungsdauer 120 Tage ermitteln. b) X binomialverteilt mit n=200, p=0,1: (1) P(E1): weniger als 17 Nutzende; P(E2): Abweichung um mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert; (2) mithilfe der…

Aufgabe e) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,2. Entscheiden Sie für drei Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung: (1) Erwartungswert und Standardabweichung sind gleich groß. (2) P(X = 2) = (4 über 2) * 0,2^4 * 0,8^2. (3) P(X = 0) = P(X = 1).

Aufgabe f) (2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlich… · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Das Urnenspiel wird 10-mal durchgeführt. Geben Sie ein Ereignis E im Sachzusammenhang an, für das P(E) = (10 über 8) * 0,7^8 * 0,3^2 gilt.

Aufgabe B4 · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Aufgabe B4: Stochastik-Kontextaufgabe zu E-Scootern. a) Mittlere Nutzungsdauer berechnen (gewichtetes Mittel) und Anteil privater Nutzung bestimmen. b) Binomialverteilte Zufallsgröße X (n=200, p=0,1): Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse E1 und E2 berechnen, mithilfe eines Histogramms einen Wert k mit P(k≤X≤k+2)≈0,15…

Aufgabe e (A2) · LK · Nachtermin · GTR 2021

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,2. Beurteilen Sie für drei Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung: (1) Erwartungswert und Standardabweichung sind gleich groß. (2) P(X = 2) = (4 über 2) * 0,2^4 * 0,8^2. (3) Es gilt P(X = 0) = P(X = 1).

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · GTR 2021

Aufgabe B4: Mittlere Nutzungsdauer von E-Scootern bei zwei Herstellern bestimmen; Binomialverteilte Zufallsgröße mit n = 200, p = 0,1 (Wahrscheinlichkeiten für E1, E2, Ablesen aus Histogramm und Aufteilung in vier Gruppen); Auswahl und Begründung des richtigen Ansatzes zur Gutscheinverteilung.

Aufgabe e - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 4 und p = 0,2. Entscheiden Sie für jede der drei Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung: (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X sind gleich groß. (2) P(X = 2) = (4 über 2) * 0,2^4 * 0,8^2. (3) P(X = 0) =…

Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Teilaufgaben a, b und c zu E-Scootern: (a) Mittlere Nutzungsdauer und Anteil privater Haushalte bestimmen; (b) Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeiten von E1 und E2, Ablesung an einem Histogramm für P(k <= X <= k+2) ≈ 0,15 mit Erläuterung, mehrstufige Befragung in 4 Gruppen); (c) Auswahl und Begründung des korrekten…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Stochastik 2021

Binomialverteilte Zufallsgröße X mit Parametern n = 100 und E(X) = 50. a) Standardabweichung berechnen. b) Mit P(X >= 61) ≈ 2 % den Wert für P(40 <= X <= 60) bestimmen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · LK · Teil A · Stochastik 2021

Untersuchung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße A (Auszahlung eines Gewinnspiels): a) Zeigen, dass p = 1/6 gilt. b) Wert von b bestimmen, sodass das Spiel fair ist (Einsatz = Auszahlung auf lange Sicht). c) Urnenmodell mit roten, grünen und blauen Kugeln für das Gewinnspiel beschreiben.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Stochastik 2021

Leiten Sie unter Verwendung der beschriebenen Spielregeln eine Gleichung her, mit der der Wert von p berechnet werden könnte; erläutern Sie dabei Ihr Vorgehen.

Aufgabe CAS 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsvert… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2021

Teilaufgaben a, b und g: Wahrscheinlichkeiten für die binomialverteilte Anzahl fehlerhafter Kugeln und für den Gesamtgewinn beim Verkauf von Packungen bestimmen.

Aufgabe CAS 2 - Aufgabe 1: Zufallsgrößen und Wahrscheinli… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2021

Teilaufgaben 1e und 1f: Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von weniger als 10 % vom Erwartungswert einer Binomialverteilung (n=150, p=0,72) bestimmen sowie die Mindestanzahl n an Personen ermitteln, sodass mit mehr als 98 % Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Personen das Smartphone nutzen.

Aufgabe 1 (a, b, g) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkei… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2021

Berechnungen zur Binomialverteilung für n = 800 Kugeln mit p = 0,04: a) P(X < 30), b) Wahrscheinlichkeit für Abweichung von höchstens 0,5·σ vom Erwartungswert, g) Wahrscheinlichkeit für einen Mindestgewinn von 1500 Euro bei 200 verkauften Packungen.

Aufgabengruppe 2 · GK · Teil A · Stochastik 2020

Aufgaben zur Binomialverteilung: Parameter und Trefferwahrscheinlichkeiten sowie Deutung eines Ungleichungsansatzes.

Aufgabe 1 - 1 · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2020

1 Es werden 40 Beschäftigte zufällig ausgewählt (X: Anzahl weiblicher Beschäftigter, binomialverteilt mit n = 40, p = 0,29). a) Berechnen Sie P(X >= 12). b) Beschreiben Sie die Bedeutung der Summe von x=0 bis 10 über B(40; 0,29; x) approx 0,36 im Sachzusammenhang. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass…

Aufgabe 2 - 1 (e–f) · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2020

Teilaufgabe 1e: Wahrscheinlichkeit berechnen, dass von 25 zufällig ausgewählten deutschen Unternehmen mindestens fünf Präsenzfortbildungen, aber keine Onlinefortbildungen anbieten. Teilaufgabe 1f: Bestimmung des Anteils p für ein anderes Land mit n = 30 und P(X >= 2) = 0,98.

Aufgabe 1 - Teil 1 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Binomialverteilte Zufallsgröße X (n = 40, p = 0,29). Berechnen von P(X ≥ 12), Deutung einer Summenwahrscheinlichkeit für k von 0 bis 10 im Sachkontext, Berechnen von P(X = 10) und Begründung des Maximums der Verteilung über den Erwartungswert.

Aufgabe 2 - Teil 1 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Binomialverteilung für 2000 Briefe des Postunternehmens Q: Begründung der Eignung der Binomialverteilung, Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für P(X >= 1900) und Gegenereignis, Beurteilung zweier Summenterme bzgl. P(Fehler >= 100) und Bestimmung der Stichprobengröße für verdoppelte Standardabweichung.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2020

Gegeben sind die binomialverteilten Zufallsgrößen X und Y mit n = 40 und p_X = 0,65. a) Term für P(X = 30) angeben. b) Aus dem Histogramm von X den Wert k bestimmen, für den die grau markierten Säulen P(X ≤ k) darstellen. c) Alle Werte von p_Y mit 0 < p_Y < 1 angeben, für die P(Y = 10) > P(Y = 30) gilt.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Stochastik 2020

Zweistufiges Zufallsexperiment mit Tetraeder (1-4) und Würfel (1-6). Wird beim 1. Wurf mit dem Tetraeder eine 3 erzielt, wird erneut das Tetraeder geworfen, andernfalls der Würfel. Einsatz: 5 Euro. Auszahlung nur bei genau einmal Zahl 3. a) Zeigen Sie, dass P(mindestens einmal Zahl 3) = 3/8 beträgt. b) Ermitteln Sie…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Zufallsgrößen und… · LK · Teil A · Stochastik 2020

Die Zahlen „1“ und „3“ werden jeweils durch neue Zahlen im Verhältnis 1 : 3 ersetzt (z. B. x und 3x). Bei einmaligem Werfen ist der Erwartungswert 4. Ermitteln Sie die beiden neuen Zahlen.

Aufgabe 1 - 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2020

Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zwölf abgespielten Stücken genau fünf lange Stücke befinden und dass sich mehr lange als kurze Stücke befinden.

Aufgabe 1 - 3 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2020

Aufgabe 3: Glücksradspiel zum Gewinnen einer CD mit grauem Sektor (Winkel b im Bogenmaß). a) Gewinnwahrscheinlichkeit als Term in Abhängigkeit von b nachweisen. b) Werte für b bestimmen, sodass die mittleren Einnahmen pro CD 9 Euro entsprechen.

Aufgabe WTR 1 · 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Unter 12 abgespielten Musikstücken einer CD mit 4 kurzen und 6 langen Stücken (mit Zurücklegen) soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass sich: (1) genau fünf lange Stücke befinden, (2) mehr lange als kurze Stücke befinden.

Aufgabe WTR 1 · 3 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Glücksradspiel mit einem grauen Sektor vom Öffnungswinkel b (im Bogenmaß). 3 Drehungen für 1 Euro Einsatz; genau zweimal grau ergibt eine CD. a) Zeigen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit (3/(4pi^2))*b^2 - (3/(8pi^3))*b^3 ist. b) Gleichung angeben, damit die erwarteten Einnahmen im Mittel pro CD 9 Euro betragen.

Aufgabe WTR 2 · 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Teilaufgaben 1 a, 1 b, 1 c und 1 e: Wahrscheinlichkeiten und Stichprobenumfang bei binomialverteilter Anzahl verkaufter Mountainbikes berechnen.

Aufgabe WTR 2 · 2 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2020

Parameter einer Normalverteilung aus der Dichtefunktion ablesen (Erwartungswert und Standardabweichung) und symmetrisches Intervall für mindestens 98% Wahrscheinlichkeit bei vorgegebenen Parametern auf 1 g genau bestimmen.

Aufgabengruppe 1 (2) - Zufallsgrößen und Wahrsche… · GK · Teil A · Stochastik 2019

Zehnmal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der entnommenen weißen Kugeln. Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass keine der folgenden Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X darstellt.

Aufgabengruppe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinli… · GK · Teil A · Stochastik 2019

Eine Person nimmt zehnmal an dem Spiel teil. Geben Sie dazu ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term (10 über 7) * 0,8^7 * 0,2^3 berechnet werden kann.

Aufgabe 1 - Teilaufgaben a bis c · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Teilaufgaben a bis c: Rechtfertigung der Binomialverteilungsannahme begründen; Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Anzahl der Führerscheinbesitzer um höchstens 5 % vom Erwartungswert abweicht; Mindestanzahl an Personen ermitteln, damit mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit mehr als 160 einen Führerschein besitzen.

Aufgabe 2 - Teilaufgaben 1 und 2 · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

100 Ziehungen mit Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten für Teilintervalle und bestimmte Kugelabfolgen ermitteln; Kugelanzahl unter 100 begründen; Gewinnspiel mit Summenwerten und Erwartungswert (durchschnittlicher Verlust) analysieren.

Aufgabe WTR-1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsvert… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Teilaufgaben a und b zur Binomialverteilung: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung um höchstens 5 % vom Erwartungswert bei n = 200 und p = 0,8 sowie Ermittlung des Mindeststichprobenumfangs n, sodass mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit mehr als 160 Führerscheinbesitzer ausgewählt werden.

Aufgabe WTR-2 Aufgabe 1 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Aufgabe 1: 100-maliges Ziehen mit Zurücklegen aus der Urne (Binomialverteilung) und Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten sowie Zeigen einer möglichen Gesamtzahl an Kugeln kleiner als 100.

Aufgabe WTR-2 Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Aufgabe 2: Gewinnspiel mit zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne (35 % „+1“, 25 % „+2“, 40 % „-3“). Die Summe der Zahlen bestimmt Gewinn oder Verlust. a) Wahrscheinlichkeit für mehr als 3 € Gewinn ermitteln. b) Zeigen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit 36 % beträgt. c) Mithilfe eines Baumdiagramms den…

Aufgabe WTR-3 Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Aufgabe 1 d: Für n = 200 und p = 0,025 das kleinste bezüglich des Erwartungswerts symmetrische Intervall bestimmen, in dem der Wert von X mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % liegt.

Aufgabe WTR-3 Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Werden der Urne zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen, so ist der Erwartungswert für die Summe der beiden Zahlen auf den entnommenen Kugeln 12. b) Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass x größer als 5 ist. c) Berechnen Sie die Zahl x.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2019

a) Zeichnen des Werts für k = 5 in das Säulendiagramm der kumulierten Binomialverteilung (n = 5) und Ermitteln von P(X = 2). b) Gegeben P(Y = 4) = 10 * P(Y = 5) für Y binomialverteilt mit n = 5 und p > 0. Berechnen von p.

Aufgabe 1 a-d - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsvert… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Binomialverteilte Anzahl X der Schwimmbadbesucher unter 2000 Jahreskartenbesitzern mit p = 0,1. a) Aussage P(X=210) ≈ 2,2% interpretieren. b) P(X > 210) berechnen. c) P(|X - μ| <= 0,5σ) berechnen. d) Größte natürliche Zahl k mit P(X < k) < 0,10 bestimmen.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Aufgabe 2: Modellierung der Eintreffzeitpunkte von Badegästen durch eine normalverteilte Zufallsgröße Y mit Erwartungswert 14,5 und Standardabweichung 2 (Öffnungszeit 07:00 bis 21:00 Uhr). a) Zeitraum der Länge 1 h mit der größten Anzahl eintreffender Badegäste angeben. b) Grafisch ermitteln, ob P(12 <= Y <= 16) > 50…

Aufgabe 2 a-c - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsvert… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2019

Binomialverteilung bei Schiffsreservierungen: Modellkritik bzgl. Unabhängigkeit (2a), Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Personen abgewiesen werden (2b) und Bestimmung der notwendigen Nicht-Erschein-Wahrscheinlichkeit auf ganze Prozent (2c).

Aufgabe WTR 1 - 1 (a-d) · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 2000 und p = 0,1. a) Aussage P(X=210) ≈ 2,2 % interpretieren. b) P(X > 210) berechnen. c) P(|X - μ| ≤ 0,5σ) bestimmen. d) Größte Zahl k mit P(X < k) < 0,10 bestimmen.

Aufgabe WTR 1 - 2 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Aufgabe 2: Analyse der Ankunftszeiten von Badegästen mithilfe einer normalverteilten Zufallsgröße mit Erwartungswert 14,5 und Standardabweichung 2.

Aufgabe WTR 2 - 2 (a-c) · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Teilaufgaben 2a bis 2c: Überbuchungsmodellierung (64 Reservierungen für 60 Plätze, Binomialverteilung). Begründung für Vereinfachung, Berechnung der Abweisungswahrscheinlichkeit und Bestimmung der Mindestwahrscheinlichkeit für das Nichterscheinen.

Aufgabe WTR 3 - 1 (a-b) · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

1a: Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse bei n = 20 und p = 0,25 (genau 5, mehr als 5, mindestens 3 aber weniger als 8 fehlerhaft). 1b: Deutung des Terms 1 - (0,25^8 + 0,75^8) im Sachzusammenhang.

Aufgabe WTR 3 - 2 · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2019

Aufgabe 2: Beurteilung eines Histogramms einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für n = 20 und rechnerische Bestimmung des Parameters p für P(Y = 10) = 4,7 %.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Stochastik 2018

Glücksradspiel mit Einsatz 4 Euro und zweimaligem Drehen (A halbiert, B verdoppelt den Betrag). a) Zeigen, dass nur 1 €, 4 € und 16 € ausgezahlt werden können. b) Erwartungswert E(X) berechnen und im Sachzusammenhang deuten.

Aufgabengruppe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinli… · GK · Teil A · Stochastik 2018

Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment und geben Sie das Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem angegebenen Binomialverteilungs-Term berechnet werden kann.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2018

Teilaufgaben d und e zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße mit Parametern n = 50 und p = 0,40 sowie Bestimmung des kleinstmöglichen Werts von k für P(X <= k) >= 0,85.

Aufgabe WTR 1 - 1 (d) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

Teilaufgabe d der Aufgabe 1 (WTR 1): Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für P(A) (genau die Hälfte von 50) und P(B) (mehr als die Hälfte) bei einer binomialverteilten Zufallsgröße mit n = 50 und p = 0,4.

Aufgabe WTR 1 - 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

Binomialverteilte Zufallsgröße Y_1 mit n_1=20 und p_1 aus Diagramm bestimmen (Erwartungswert ist ganzzahlig). Für Y_2 mit n_2=40 ist E(Y_2) = 0,5 * E(Y_1). Bestimmen Sie das Verhältnis der Varianzen von Y_1 und Y_2.

Aufgabe WTR 2 - 1 (a-d, g) - Zufallsgrößen und Wahrschein… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

Binomialverteilte Zufallsgröße X mit p = 1/5 = 0,2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten P(X <= 8) für n=50 und P(30 < X < 50) für n=200; Ermitteln der wahrscheinlichsten Anzahl bei n=250; Beurteilen einer Aussage zur Stichprobenergänzung; Bestimmen der maximalen Fehlerquote p, sodass P(X=0) >= 0,10 bei n=25;…

Aufgabe WTR 3 - 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

Zwölfseitiger Spielwürfel mit den Zahlen 1 und 2 beschriftet (P(1)=3/4, P(2)=1/4), viermal geworfen. a) Begründen, dass P(Summe=4) > P(Summe=8). b) Zeigen, dass im Mittel etwa 1 von 20 Spielen einen Hauptpreis (Summe ≥ 7) bringt. c) Zu P=81/256 einen passenden Spielausgang für den Trostpreis angeben und begründen. d)…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2018

a) Gegeben ist eine Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,8. Anhand von drei Histogrammen soll angegeben und begründet werden, welche beiden Abbildungen die Verteilung nicht darstellen. b) Eine binomialverteilte Zufallsgröße Y hat den Erwartungswert 8 und ist symmetrisch. Der Wert von n soll ermittelt werden.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen · LK · Teil A · Stochastik 2018

Die Zufallsgröße X gibt die Summe der beiden erzielten Zahlen beim zweimaligen Drehen des Glücksrads an. Ergänzen Sie in der Wahrscheinlichkeitstabelle die Werte für P(X=3), P(X=5) und P(X=6).

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2018

Die Zufallsgrößen X und Y können jeweils die Werte 3, 4 und 5 annehmen. a) Für X gilt: P(X=3) = 1/3 und P(X=4) = 1/4. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. b) Für Y gilt: P(Y=3) = 1/3, P(Y=4) >= 1/6 und P(Y=5) >= 1/6. Bestimmen Sie alle Werte, die für den Erwartungswert von Y infrage kommen.

Aufgabe 1 (CAS 1) - Wahrscheinlichkeitsverteilung… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2018

Teilaufgaben a und b: Für eine Binomialverteilung mit n = 800 und p = 0,04 Wahrscheinlichkeiten P(X = 30) und P(X >= 40) sowie die Mindestanzahl n für P(Y >= 100) >= 0,95 mit p = 0,96 bestimmen.

Aufgabe 2 (CAS 1) - Erwartungswert und faires Spi… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2018

Teilaufgabe a: Nachweisen, dass die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Farben beim dreimaligen Drehen 1/6 beträgt. Teilaufgabe b: Den Auszahlungsbetrag für das Ereignis 'drei verschiedene Farben' berechnen, wenn das Spiel fair ist.

Aufgabe 1 (CAS 2) · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2018

Wahrscheinlichkeiten und Mindestanzahl für nicht mehr umlauffähige Geldscheine in den Tageseinnahmen bestimmen.

Aufgabe 3 (CAS 2) - Erwartungswert · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2018

Einer der 454 000 im ersten Halbjahr 2015 aussortierten gefälschten Geldscheine wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X, die den Wert des ausgewählten Scheins in Euro beschreibt.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

Teilaufgabe 1a und 1b: Für n = 50 und p = 0,04 die Wahrscheinlichkeiten für genau zwei fehlerhafte Teile und mindestens 6 % fehlerhafte Teile berechnen. In 1b die Mindestanzahl an Teilen ermitteln, sodass mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens drei Teile fehlerfrei sind.

Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

Teilaufgabe 2a: Zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Farben 1/6 beträgt. Teilaufgabe 2b: Auszahlungsbetrag für drei verschiedene Farben bei einem fairen Spiel berechnen.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2018

Teilaufgabe a: Berechnung der Wahrscheinlichkeiten A (höchstens 8 von 50 fehlerhaft) und B (mehr als 15 % und weniger als 25 % von 200 fehlerhaft) unter Annahme einer Binomialverteilung mit p = 0,2. Teilaufgabe d: Beurteilen, ob die Anzahl fehlerhafter Bildschirme bei einer Zufallsauswahl von 10 aus 40 Bildschirmen…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Stochastik 2017

Wahrscheinlichkeiten und Parameter einer binomialverteilten Zufallsgröße bestimmen: a) P(5 <= X <= 7) aus dem Diagramm ablesen und berechnen, b) Parameter n und p aus Erwartungswert E(X) = 6 und Varianz V(X) = 3,6 ermitteln.

Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · GK · Teil B · Stochastik (CAS) 2017

2c: Ermitteln Sie unter 250 Geräten aus Werk A die wahrscheinlichste Anzahl fehlerhafter Geräte. 2d: Geben Sie den Wert s für den Term 200 · 0,98^s · 0,02 + 0,98^200 an und beschreiben Sie das zugehörige Ereignis. 2e: Ermitteln Sie die Mindestanzahl an Geräten aus Werk C, damit mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit…

Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2017

Teilaufgabe 2c: Wahrscheinlichste Anzahl fehlerhafter Geräte bei n = 250 und p = 0,05 bestimmen. Teilaufgabe 2d: Exponenten s = 199 identifizieren und Term als P(X <= 1) bei n = 200 im Werk D deuten. Teilaufgabe 2e: Stichprobenumfang n für P(X >= 1) >= 0,95 bei Werk C ermitteln.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2017

Teilaufgaben 1a und 1c: Binomialwahrscheinlichkeiten berechnen (P(X=8) und P(X>=5) für n=25, p=0,2) sowie die Mindestanzahl Pkw ermitteln, damit mit mind. 95 % Wahrscheinlichkeit mind. ein Dieselfahrzeug dabei ist.

Aufgabe 2 · GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2017

Aufgabe 2: Gegeben ist die Standardabweichung 3 einer binomialverteilten Zufallsgröße. a) Bestimmen Sie die Versuchsanzahl n für p = 25 %. b) Begründen Sie, dass n = 9 für keinen Wert von p möglich ist.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik 2017

Wahrscheinlichkeiten und Terme bei wiederholtem Drehen eines Glücksrads bestimmen und eine Aussage zur stochastischen Unabhängigkeit beurteilen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Stochastik 2017

Jedes Überraschungsei enthält mit 25 % Wahrscheinlichkeit eine Figur. a) Term für die Wahrscheinlichkeit angeben, dass von 10 Eiern nur die letzten beiden eine Figur enthalten. b) Aus 3 Abbildungen die passende Wahrscheinlichkeitsverteilung für n = 6 begründet auswählen.

Aufgabengruppe 2 - 1 b - Zufallsgrößen und Wahrsc… · LK · Teil A · Stochastik 2017

Bei einem Urnenspiel mit 1 Euro Einsatz wird zufällig eine Urne gewählt und daraus eine Kugel gezogen. Bei einer schwarzen Kugel gibt es eine Auszahlung. Bestimmen Sie den Auszahlungsbetrag für ein faires Spiel.

Aufgabe 1 (CAS 1) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2017

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Haushaltsgrößen (genau 40 Einpersonenhaushalte, mindestens 50 Mehrpersonenhaushalte), Deutung eines Terms der Gegenwahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang, Bestimmung einer Mindeststichprobengröße n und Abschätzung der Gesamtzahl der Haushalte anhand der…

Aufgabe 2 (CAS 2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2017

Aufgabe 2: Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer mehr als 10%-igen Abweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße vom Erwartungswert (n = 20000, p = 0,01). Aufgabe 3c: Bestimmung der geänderten Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsgröße nach Halbierung der Ausfallwahrscheinlichkeit.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2017

Teilaufgaben c und d: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die binomialverteilten Ereignisse E (genau 140 keimen von 200 der Stufe B) und F (mehr als 130 und weniger als 150 keimen von 200 der Stufe B) sowie Beschreibung der Bedeutung eines gegebenen Terms im Sachzusammenhang.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und… · GK · Teil A · Stochastik

Ordnen Sie den Zufallsgrößen X (Augenzahl eines Würfels), Y (Augensumme zweier Glücksräder) und Z (Anzahl Wappen bei 6 Münzwürfen) die Wahrscheinlichkeitsverteilungen I, II und III zu und begründen Sie jede Zuordnung.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und… · GK · Teil A · Stochastik

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment und geben Sie das Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem gegebenen Term der Binomialverteilung berechnet werden kann.

Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · GK · Teil B · Stochastik (CAS)

Binomialverteilung für geheilte Personen (c), Erwartungswert der Dauer von Nebenwirkungen (d) und Stichprobenumfang zur Mindestens-mindestens-Bedingung für Erkrankte (e).

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Stochastik (WTR)

Aufgabe 1: Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit der Binomialverteilung (n = 16, p = 0,1) und Vergleich zweier Erwartungswerte E(X) und E(Y).

Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · GK · Teil B · Stochastik (WTR)

Für eine Stichprobe von n an Glaukom erkrankten Personen gibt Z die Anzahl derjenigen ohne erhöhten Augeninnendruck an. Es gilt 21 < E(Z) < 27. Bestimmen Sie die möglichen Werte für n.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik

Kenngrößen und Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsgröße X anhand des Graphen ihrer Dichtefunktion bestimmen: Erwartungswert angeben, Wahrscheinlichkeit für einen Einzelwert P(X = 2,4) bestimmen und Wahrscheinlichkeit für ein Intervall P(1 <= X <= 1,4) durch Näherung der Fläche bestimmen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen · LK · Teil A · Stochastik

Würfel 1 wird zweimal geworfen. Eine Zufallsgröße beschreibt, wie oft dabei eine Fläche mit dem Buchstaben B gewürfelt wird. Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsgröße.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Stochastik

Binomialverteilte Zufallsgrößen X_1 (p_1=0,8) und X_2 (p_2=0,2) bei n=5 Versuchen: Term für P(X_1=1) angeben, Ereignis zu einem Gegenwahrscheinlichkeitsterm beschreiben und Verteilungsdiagramm von X_2 zeichnen.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

1 Betrachtet werden Lampen, die von der Firma A ausgeliefert wurden. a) Zehn Lampen werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Lampen, die nicht defekt sind, größer ist als die Anzahl der defekten Lampen. b) 500 Lampen werden zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die…

Aufgabe 3 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Ein Discounter bezieht 35 % der Lampen von Firma A (Einkaufspreis 0,98 €, 9 % defekt) und 65 % von Firma B (Einkaufspreis 1,02 €, 7 % defekt). Verkaufspreis 1,49 €. Defekte Lampen werden an der Kasse entsorgt. Bestimmen Sie den im Mittel pro Lampe zu erwartenden Gewinn.

Aufgabe 1c · LK · Teil B · Stochastik (WTR)

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 48 zufällig ausgewählten Wahlberechtigten genau 6 Jungwähler befinden (p = 0,12).

Aufgabe 3 · LK · Teil B · Stochastik (WTR)

Aufgabe 3: Zufallsgröße X (hypergeometrisch: 8 Frauen, 4 Männer, Stichprobe 3). a) P(X=2) berechnen. b) Für Y ~ B(3; 2/3) rechnerisch zeigen, dass E(Y)=E(X) und Var(Y)>Var(X). Visuellen Vergleich anhand der Säulendiagramme beschreiben.

Andere Themen: Mathematik

Analysis

• Funktionen und ihre Eigenschaften · 329 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
• Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · 462 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
• Graphen von f, f′ und F deuten · 71 Aufgaben · 20 % Wahrscheinlichkeit
• Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · 109 Aufgaben · 15 % Wahrscheinlichkeit
• Integralrechnung: Flächen und Bestände · 419 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

• Lineare Gleichungssysteme · 21 Aufgaben · 10 % Wahrscheinlichkeit
• Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · 217 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
• Längen, Winkel und Abstände im Raum · 272 Aufgaben · 45 % Wahrscheinlichkeit
• Matrizen und Übergangsprozesse · 93 Aufgaben · 20 % Wahrscheinlichkeit

Stochastik

• Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · 198 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
• Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle · 73 Aufgaben · 15 % Wahrscheinlichkeit