Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Piste misst nur etwa $527\text{ m}$ in der Länge und etwa $20\text{ m}$ in der Breite und ist geneigt. Landungen erfolgen ausschließlich bergauf, Starts ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Ortsbebauung reicht direkt bis an die Piste heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

a) (3)

Stellen Sie eine Parametergleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung aus dem Prüfungstext: $E:\vec{x} = \begin{pmatrix}0\\10\\65\end{pmatrix} + k\cdot \begin{pmatrix}523\\65\\-65\end{pmatrix} + l\cdot \begin{pmatrix}-523\\-20\\65\end{pmatrix}$, $k,l\in\mathbb{R}$.]

b)

Damit eine Landung sicher verläuft, muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe dient dem Piloten eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ mit einer Länge von $20\text{ m}$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Diese Strecke unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

$$\vec{x} = \begin{pmatrix}392{,}25\\0\\16{,}25\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}0\\20\\0\end{pmatrix},\quad t\in[0;1]$$ stellt eine Parameterform der Strecke $s$ dar.

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug längs der Geraden

$$g:\vec{x} = \begin{pmatrix}670\\10\\22\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-15{,}5\\0\\-1\end{pmatrix},\quad r\in\mathbb{R}.$$

Prüfen Sie rechnerisch, ob das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

$S($

$|$

$|$

$)$

Ja

Nein

c) (1)

Um sichere Landungen zu gewährleisten, ist die Landebahn regelmäßig zu überprüfen.

Hierfür soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden

$$m:\vec{x} = \begin{pmatrix}523\\10\\0\end{pmatrix} + n\cdot \begin{pmatrix}-523\\0\\65\end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{R}$$

verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat. [Hinweis: Der Abstand ist senkrecht zur Landebahn zu messen.]

Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachzusammenhang liegt.