Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analytische Geometrie 2022

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung LK · Teil A · Analytische Geometrie (2022)

Aufgabenstellung

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat ABCDABCD. Die Gerade gg, die durch BB und den Mittelpunkt MM der Seite AD‾\overline{AD} verläuft, hat den Richtungsvektor v⃗\vec{v}. Der Punkt FF ist der Fußpunkt des Lots von AA auf gg.

a

Begründen Sie, dass ∣BF⃗∣=2⋅∣AF⃗∣|\vec{BF}| = 2\cdot |\vec{AF}| gilt. [3 BE]

b

Geben Sie einen Term an, mit dem man die Koordinaten von B bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von A und F sowie die Komponenten von v⃗\vec{v} bekannt wären. [2 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analytische Geometrie 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Begründen Sie, dass ∣BF⃗∣=2⋅∣AF⃗∣|\vec{BF}| = 2\cdot |\vec{AF}| gilt.

Lösung: Die Dreiecke ABM und ABF haben bei B einen gemeinsamen Winkel und außerdem jeweils einen rechten Winkel, d. h. die beiden Dreiecke sind ähnlich. Damit gilt: ∣BF⃗∣∣AF⃗∣=∣AB⃗∣∣AM⃗∣=2\frac{|\vec{BF}|}{|\vec{AF}|} = \frac{|\vec{AB}|}{|\vec{AM}|} = 2

b Geben Sie einen Term an, mit dem man die Koordinaten von B bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von A und F sowie die Komponenten von v⃗\vec{v} bekannt wären.

Lösung: OB⃗=OF⃗+2⋅∣AF⃗∣⋅v⃗∣v⃗∣\vec{OB} = \vec{OF} + 2\cdot |\vec{AF}|\cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

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