Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

c)

Der Punkt $P(1|e)$ liegt für einen bestimmten Wert von $a$ auf dem Graphen von $f_a$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ sowie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ in $P$.

e)

(2) Für jedes $a \neq 0$ sind die Wendestellen von $f_a$ genau die Lösungen der Gleichung $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0$.

Geben Sie für sämtliche Werte von $a \in \mathbb{R}$ an, wie viele Wendestellen $f_a$ besitzt, und begründen Sie Ihre Angabe.

(3) Sämtliche Extrempunkte der Graphen dieser Schar befinden sich auf einer Geraden.

Begründen Sie, dass diese Gerade die Gleichung $y = x$ hat.