Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2022

Der in der Abbildung 1 gezeigte Körper $ABCDEFGH$ stellt einen massiven Betonkörper dar, das Viereck $EFGH$ dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.

An der durch die Strecke $\overline{\text{EH}}$ dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte liegt zunächst auf der Deckseite des Betonkörpers auf, wobei sie mit den Kanten der Deckseite bündig abschließt. Anschließend kann die Karte umgeklappt werden. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(0|20|0)$, $E(0|40|120)$ und $F(0|58|114)$.

Es gilt $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{EH} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Im verwendeten Koordinatensystem stellt die $xy$-Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ cm}$ in der Realität.

Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe d betrachtet wurde, können alle möglichen Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen $E_a: a \cdot y + z = 40a + 120$ mit $a \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

c)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Rechteck $EFGH$ liegt, in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $y + 3z = 400$)

[3 BE]

d)

Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist $\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ -3\end{pmatrix}$.

Die Karte wird so positioniert, dass sie vertikal steht (vgl. Abbildung 2). Der im Modell mit $K'$ bezeichnete Schatten des durch $K$ dargestellten Eckpunkts liegt auf der Deckseite des Betonkörpers. Berechnen Sie die Koordinaten von $K'$.

[5 BE]

e)

Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe d betrachtet wurde, können alle möglichen Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen

$$E_a: a\cdot y + z = 40a + 120 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}$$

beschrieben werden.

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$, für den die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers liegt.

[2 BE]

f)

Klappt man die Karte ausgehend von der Deckseite des Betonkörpers um, so erreicht man währenddessen eine Position, in der zum ersten Mal kein Schatten der Karte auf der Deckseite liegt. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $a$ und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

[3 BE]