Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so geregelt, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für einige andere Dromedare wird die Körpertemperatur für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ modelliert mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Wert von $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

b)

Der durchschnittliche Wert einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen.

Berechnen Sie für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr die mittlere Körpertemperatur des Dromedars.