Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit starken Temperaturwechseln in ihrer Umgebung zurechtkommen und finden zudem nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von 0 Uhr bis 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Dabei gibt $t$ mit $0 \le t \le 20$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ die Körpertemperatur in Grad Celsius an. Der Graph von $k$ ist in Abbildung 1.

a)

(1)

Ermitteln Sie die Zeitdauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens 38 °C erreicht oder übersteigt.

(2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren fällt sie aufgrund ihrer Anpassung an die Wüste deutlich größer aus als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum ist.

(3)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum am stärksten zunimmt.