Aufgabe B1 - Teilaufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$

beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei mit $f$ bezeichnet.

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Dragster-Starts liegt das Kamerafahrzeug unmittelbar neben dem Dragster. Diese konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ beschrieben; dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die seit dem Start des Dragsters vergangene Zeit.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und bestimmen Sie im Bereich $0 \leq t \leq t_{\text{max}}$ die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Graphen von $f$ und $g$.

$(

$|$

$)$

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ ungefähr $29{,}3$.

Erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0; 6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie dieses Maximum an.

$a \approx$

m

(4)

Für genau einen Wert von $a$ mit $0 < a < 6$ ist $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t = 0$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, was er im Sachzusammenhang bedeutet.

$a \approx$