Aufgabe A3 - Teilaufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

c) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie rechnerisch die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen lauten $x = 0$ und $x = 3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$. Die Funktion $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist dabei eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $h$ und $f$ liegt und von ihnen begrenzt wird.