Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2022

Eine Werbefläche wird mit 4500 Lampen beleuchtet. Jede der Lampen kann in jeder der Farben Rot, Grün und Blau leuchten. Der Zustand der Lampen zum Zeitpunkt $n$ wird durch den Vektor $\vec{v_n} = \begin{pmatrix} r_n \\ g_n \\ b_n \end{pmatrix}$ dargestellt; dabei ist $r_n$ die Anzahl der rot leuchtenden, $g_n$ die Anzahl der grün leuchtenden und $b_n$ die Anzahl der blau leuchtenden Lampen. Der Wechsel der Farben von einem Zeitpunkt zum nächsten wird zunächst durch die Gleichung $\vec{v_{n+1}} = N \cdot \vec{v_n}$ mit $N = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \\ 0{,}3 & 0{,}6 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ beschrieben.

a

Stellen Sie den Wechsel der Farben in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

b

Zu einem Zeitpunkt leuchten 1000 Lampen blau. Nach dem anschließenden Farbwechsel stimmen die drei Anzahlen der rot, grün und blau leuchtenden Lampen überein. Bestimmen Sie das Verhältnis der Anzahl der rot leuchtenden zur Anzahl der grün leuchtenden Lampen vor dem Farbwechsel. [5 BE]

Im Folgenden werden Matrizen der Form $F_a = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ a & a & 0 \\ 1-2a & 1-2a & 1 \end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}_0^+$ betrachtet. Für $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ gilt $F_a^k = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & \frac{1}{2} \cdot 2^k a^k & 0 \\ 1 - 2^k a^k & 1 - 2^k a^k & 1 \end{pmatrix}$.

c

Untersuchen Sie, für welche Werte von $a$ sich jeder Eintrag von $F_a^k$ für $k \to +\infty$ einem endlichen Wert nähert. [3 BE]

d

Für $a < \frac{1}{2}$ und $k \to +\infty$ gilt $F_a^k \to \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Für $a \le \frac{1}{2}$ stellt die Matrix $F_a$ im Modell Farbwechsel der Lampen dar. Beschreiben Sie in Abhängigkeit von $a$, wie diese Farbwechsel ablaufen. [5 BE]