Abitur NRW Mathematik 2020
Aufgaben Mathematik aus dem IQB-Pool 2020 für das Abitur in Nordrhein-Westfalen: GK · Teil A · Analysis. Mit Lösung zu jeder Aufgabe.
GK · Teil A · Analysis (2020)
Themen der Prüfung: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
- Aufgabe 1 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = x³ - 12x + 16. a) Zeigen Sie, dass -2 und 2 die Extremstellen von f sind. b) Begründen Sie, dass die x-Achse den Graphen von f in genau einem Punkt berührt. - Aufgabe 2 · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Der Graph einer quadratischen Funktion f verläuft durch den Koordinatenursprung. Die Tangente an diesen Graphen im Punkt (2 | f(2)) hat die Gleichung y = 4x - 2. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von…
GK · Teil A · Analytische Geometrie (2020)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Betrachtet wird das Prisma ABCDEF mit A(3|3|6), B(-1|5|2), C(7|4|1) und E(2|23|8) mit Grundebene L: x + 6y + 2z = 33. a) Begründen, dass das Prisma gerade ist. b) Ebene M parallel zu L ermitteln, die… - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Betrachtet wird die Pyramide ABCS mit rechtwinkliger Dreiecksgrundfläche ABC (Hypotenuse AB = 5 cm, Kathete AC = 4 cm, Kante CS senkrecht zur Grundfläche mit Länge 7 cm). a) Berechnen Sie das Volumen…
GK · Teil A · Lineare Algebra (2020)
Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Gegeben ist die Vertauschungsmatrix M und der Vektor v = (1, 2, 3)^T. a) Berechnen Sie den aus der Multiplikation M * v resultierenden Vektor. b) Geben Sie die inverse Matrix zu M an. c) Beschreiben… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Gegeben ist die Matrix A. a) Bestimmen Sie die Parameter a, b, c der inversen Matrix A⁻¹. b) Ermitteln Sie einen nicht-trivialen Vektor v mit A · v = v. - Aufgabengruppe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Gegeben ist die Matrix M mit den Parametern a, b, c, d. Bestimmen Sie alle ganzzahligen Zahlentupel (a;b;c;d), für die M * M gleich der gegebenen Matrix ist.
GK · Teil A · Stochastik (2020)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Urnenexperiment mit 3 blauen und 2 roten Kugeln. a) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass zwei ohne Zurücklegen gezogene Kugeln unterschiedliche Farben haben. b) Nachweisen, dass die beginnende… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Anteil nicht verkleideter Gäste berechnen und die stochastische Bedeutung des Terms 0,12 / (0,12 + 0,75 · 0,4) im Sachzusammenhang beschreiben. - Aufgabengruppe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgaben zur Binomialverteilung: Parameter und Trefferwahrscheinlichkeiten sowie Deutung eines Ungleichungsansatzes.
GK · Teil B · Analysis (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Zeigen Sie, dass die Graphen von u und v nur die Punkte P(0|0) und Q(8/3 | 64/27) gemeinsam haben. - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung von Hochpunkt, Steigungen und Berührpunkten der Randfunktionen v und u, Berechnung der Ausdehnung des Fischs in x- und y-Richtung sowie Nachweis von Wendetangente, Lage der Kopfspitze… - Aufgabe 1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie den Flächeninhalt des im Wasser liegenden (dunkelgrau markierten) Teils des Fischs mithilfe der Integralrechnung. - Aufgabe 1 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Bestimmen Sie den Parameter k der Schar u_k so, dass die vertikale Ausdehnung der Schwanzflosse bei x = -1 genau 3/2 beträgt. - Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe 1b: Grenzverhalten des Graphen von f für x gegen plus/minus unendlich beschreiben. - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1a und 1c: Nullstellen von f angeben, Wendepunkt im ersten Quadranten rechnerisch nachweisen. Für Tangenten mit Steigung 3e/10 den y-Achsenabschnitt und Schnittwinkel mit der y-Achse… - Aufgabe 1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben 1d, 1e, 1f und 1g: F(3) - F(0) berechnen und geometrisch deuten; Existenz einer Zahl a mit Integral von 0 bis a gleich 0 begründen; Tiefpunkt aller Stammfunktionen auf der y-Achse… - Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von b, für den der Graph von g_b und der Graph von f mit f(x) = 1/10 · x · (3 - x) · e^x eine Figur bilden, die bezüglich der x-Achse symmetrisch ist. - Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe 2: b) Berechnen Sie den Wert von b, für den der Tiefpunkt von g_b die x-Koordinate 2 hat, und skizzieren Sie den Graphen. c) Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts von g_b und… - Aufgabe 2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe 2d: Markieren Sie für b = 3 das von den Graphen g_b und g_{b+1} mit der x-Achse eingeschlossene Flächenstück im vierten Quadranten in Abbildung 2. Bestimmen Sie den Wert von b, für den der…
GK · Teil B · Analysis (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe WTR 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extrem-… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung des Fischlogos mit Differentialrechnung (Teilaufgaben a, b, c, d, g, h, i): Schnittpunkte von u und v, Ableitung v'(x), Hochpunkt Q, Beurteilung einer Steigungsaussage, Ausdehnung in… - Aufgabe WTR 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe e: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schwanzflosse des Fischs. Teilaufgabe f: Deuten Sie den Term aus zwei Integralen mit oberer Schranke 5/4 (Wasseroberfläche) im Sachzusammenhang,… - Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangent… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1.a, 1.c und 1.d: Nullstellen und Hochpunkt von f bestimmen, Tangente durch (0|0,5) einzeichnen und Gleichung angeben sowie Steigungswinkel im Ursprung berechnen. - Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f für x gegen minus unendlich und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms von f. - Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben 1.e bis 1.h: Stammfunktion nachweisen, Integral geometrisch deuten und berechnen sowie Eigenschaften von Stammfunktionen untersuchen. - Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben 2.a und 2.b: Symmetriebedingung bezüglich der x-Achse und gemeinsame Punkte der Graphen von g_b und g'_b untersuchen. - Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 2 - Integralrechnung: Flächen und… · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe 2.c: Flächenstück zwischen Graphen der Schar g_b markieren und Integralgleichung aufstellen.
GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 (a, d) - Ebenen und Schattenwurf · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe 1a und 1d: Bestimmen Sie eine Ebenengleichung für das Dreieck ABC in Koordinatenform. Bestimmen Sie anhand der Punkte A'(-5|3|0) und B'(-5|7|0) die Koordinaten des Schattens des oberen… - Aufgabe 1 (b, c, e) - Neigung, Länge und Flächeni… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben 1b, 1c und 1e: Prüfen Sie die Neigung des Sonnensegels (> 30 % gefordert). Berechnen Sie die ursprüngliche Länge der Seite AB vor der 4 %-igen Dehnung. Zeichnen Sie den Schatten in der… - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Begründen Sie, dass der Wert von λ für das Dreieck RST_λ mit kleinstem Flächeninhalt die Lösung der Orthogonalitätsgleichung ist. - Aufgabe 1 (c) - Ebenengleichung · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Das Viereck ABGH liegt in der Ebene L. Bestimmen Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform. (zur Kontrolle: x + y = 0) - Aufgabe 1 (a, b, d, e, f) - Metrische Eigenschaft… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnung von Würfelvolumen, Nachweis eines Rechtecks mit Diagonalenschnittpunkt, Schnittwinkel einer Ebene mit der xz-Ebene, geometrische Deutung eines Vektorterms sowie Nachweis des…
GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist ein Sonnensegel ABC mit A(-1|1|2), B(-1|5|2), C(-4|3|3). In Teilaufgabe a ist der Wert j der Ebenengleichung x_1 + 3x_3 = j zu bestimmen. In Teilaufgabe d sind die Koordinaten des… - Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben 1b, 1c und 1e: Neigung des Sonnensegels prüfen (mindestens 30 %), ursprüngliche Länge der Seite AB vor dem ersten Aufspannen berechnen und den Schattenwurf in der x1x2-Ebene grafisch… - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben ist die Gerade t und die Punkte R(-1|2|3) und S(-1|4|3). Die Dreiecke RST_lambda sind gleichschenklig. Begründen Sie, dass der Wert von lambda für den minimalen Flächeninhalt die Lösung der…
GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Untersuchung der Populationsdynamik weiblicher Säugetiere anhand von Übergangsmatrizen: Bedeutung der Matrixeinträge, Rückrechnung und Invertierbarkeit, Eigenwert- und Eigenvektorproblem für…
GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Zweistufiger Produktionsprozess mit Rohstoffen R1, R2, R3, Zwischenprodukten Z1, Z2 und Endprodukten E1, E2, E3. Gegeben ist der Verflechtungsgraph. a) Bedeutung der Vektorgleichung für (0, 3)… - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Betrachtet wird das Viereck ABCD mit A(5|0|0), B(0|8|-6), C(-5|0|0) und D(0|-8|6). a) Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD eine Raute, aber kein Quadrat ist. b) Begründen Sie mithilfe einer Skizze,…
GK · Teil B · Stochastik (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabe 1 - 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1 Es werden 40 Beschäftigte zufällig ausgewählt (X: Anzahl weiblicher Beschäftigter, binomialverteilt mit n = 40, p = 0,29). a) Berechnen Sie P(X >= 12). b) Beschreiben Sie die Bedeutung der Summe… - Aufgabe 1 - 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeiten zur Arbeitsplatzzufriedenheit von Beschäftigten (Werte x und y ermitteln, bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, Anteil der weiblichen Beschäftigten… - Aufgabe 2 - 1 (a–d) · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe 1 (a–d) zu Fortbildungsangeboten deutscher Unternehmen: a) Vierfeldertafel erstellen, b) bedingte Wahrscheinlichkeit ermitteln, c) Term für Ereignisverknüpfung beurteilen und begründen,… - Aufgabe 2 - 1 (e–f) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe 1e: Wahrscheinlichkeit berechnen, dass von 25 zufällig ausgewählten deutschen Unternehmen mindestens fünf Präsenzfortbildungen, aber keine Onlinefortbildungen anbieten. Teilaufgabe 1f:… - Aufgabe 2 - 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Urnenmodell ohne Zurücklegen und Berechnung mit hypergeometrischer Verteilung bei einer Mitarbeiterbefragung.
GK · Teil B · Stochastik (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabe 1 - Teil 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilte Zufallsgröße X (n = 40, p = 0,29). Berechnen von P(X ≥ 12), Deutung einer Summenwahrscheinlichkeit für k von 0 bis 10 im Sachkontext, Berechnen von P(X = 10) und Begründung des… - Aufgabe 1 - Teil 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe 2 zu einer Befragung zur Arbeitsplatzzufriedenheit: Bestimmung der Werte x und y im Baumdiagramm, Berechnung einer bedingten Wahrscheinlichkeit und Bestimmung des Frauenanteils in einer… - Aufgabe 2 - Teil 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung für 2000 Briefe des Postunternehmens Q: Begründung der Eignung der Binomialverteilung, Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für P(X >= 1900) und Gegenereignis, Beurteilung zweier… - Aufgabe 2 - Teil 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
a) Berechnen Sie für a=0,25 die Wahrscheinlichkeit, dass der Brief nicht am ersten Werktag zugestellt wird. b) Prüfen Sie für a=0,25, ob die Ereignisse 'Q befördert' und 'am ersten Werktag…
LK · Teil A · Analysis (2020)
Themen der Prüfung: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = x*e^(-x) und Dreiecke mit O(0|0), P(a|0), Q(a|f(a)) für a > 0. a) Begründen, dass der Flächeninhalt durch A(a) = 1/2 * a^2 * e^(-a) bestimmt werden kann. b) Den Wert von a… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 a - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = sin x, der Graph von g(x) = x und die Gerade x = pi einschließen. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 b - Differentialrech… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Geben Sie eine Gleichung einer Tangente an den Graphen von f an, die parallel zum Graphen von g verläuft und nicht den Punkt O enthält. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 a - Differentialrech… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist die Schar f_k(x) = -k*(x^4 - 4x^3) mit k in IR^+. Bestimmen Sie die x-Koordinate des Hochpunkts des Graphen von f_k. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 b - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das die Graphen von f_k und f_{k+1} einschließen, für alle Werte von k den gleichen Inhalt hat. - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Für fa(x) = a*(x-2)^3 soll a) gezeigt werden, dass F(x) = 1/2*(x-2)^4 + 3 eine Stammfunktion von f2 ist, und b) mithilfe von Skizzen untersucht werden, für welche Werte von a es Stammfunktionen gibt,… - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Mithilfe der Graphen von f und g die Tangentengleichung an die verkettete Funktion h(x) = g(f(x)) im Punkt (4|h(4)) bestimmen.
LK · Teil A · Analytische Geometrie (2020)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Untersuchung eines geraden Zylinders mit Radius 5 und Höhe 10 in der x1x2-Ebene mit Deckflächenmittelpunkt M(8|5|10): a) Nachweisen, dass P(5|1|0) auf dem Rand der Grundfläche liegt. b) Bestimmung… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Schatten der Spitze S(1|6|2) von einer Lampe L(4|0|5) auf der rechten Seitenwand einer Theaterkulisse (y = 7) liegt. - Aufgabengruppe 2 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben sind gerade Pyramiden AB_tC_tD_tS_t mit quadratischer Grundfläche in der xy-Ebene und die Ebene E: 3y + 4z = 24. a) Begründen, dass E parallel zur x-Achse ist. b) Werte von t bestimmen, für…
LK · Teil A · Lineare Algebra (2020)
Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabengruppe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Untersuchung der Bestandsveränderung von Apfelbäumen (Jungbäume J, mäßigtragend M, guttragend G) mittels Übergangsgraph und Matrix. Erläuterung der Übergangsquoten 0,1 und 0,9 im Sachzusammenhang… - Aufgabengruppe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Zeigen Sie, dass das Quadrat einer spaltenstochastischen Matrix M = ((a, b), (c, d)) ebenfalls eine spaltenstochastische Matrix ist.
LK · Teil A · Stochastik (2020)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Gegeben sind die binomialverteilten Zufallsgrößen X und Y mit n = 40 und p_X = 0,65. a) Term für P(X = 30) angeben. b) Aus dem Histogramm von X den Wert k bestimmen, für den die grau markierten… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zweistufiges Zufallsexperiment mit Tetraeder (1-4) und Würfel (1-6). Wird beim 1. Wurf mit dem Tetraeder eine 3 erzielt, wird erneut das Tetraeder geworfen, andernfalls der Würfel. Einsatz: 5 Euro.… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Mehrstufige Zufall… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Der Würfel mit den Seiten 1, 2, 2, 2, 2, 3 wird zweimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden geworfenen Zahlen 4 ist. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Zufallsgrößen und… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Die Zahlen „1“ und „3“ werden jeweils durch neue Zahlen im Verhältnis 1 : 3 ersetzt (z. B. x und 3x). Bei einmaligem Werfen ist der Erwartungswert 4. Ermitteln Sie die beiden neuen Zahlen. - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: Ereignis zu gegebener Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen angeben. Teilaufgabe b: Wert von w berechnen aus der Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeit für eine weiße zweite… - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Eine Gärtnerei züchtet Tulpen in drei Farben und stellt Sträuße mit 15 Tulpen zusammen. a) Bedeutung der Faktoren im Term (3 über 2) * 14 für zwei verschiedene Farben im Sachzusammenhang beschreiben.…
LK · Teil B · Analysis (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe CAS 1 · 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a, f und g zur Funktionenschar v_t(x) = (x/t)^2 · (x-t)^2 + 1 und zur Wurzelfunktion f(x) = (v_8(x))^(1/4): Gemeinsame Eigenschaften der Schar nennen, Aussagen über Funktionswerte und… - Aufgabe CAS 1 · 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben b, c, d und e zu v_t(x): Hochpunkt für t=8 bestimmen, geometrische Bedeutung des Gleichungssystems aus Funktion und Ableitung als Tangenten durch (0|1) beschreiben, Wendepunkte und deren… - Aufgabe CAS 1 · 2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe a: Aus 5 Messwertpaaren einen ganzrationalen Funktionsterm für den lokalen Kraftstoffverbrauch bestimmen. Teilaufgabe b: Nachweisen, dass die Modellfunktion k am Startpunkt und bei 1,00… - Aufgabe CAS 1 · 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe c: Für die gesamte Testfahrt (0 ≤ x ≤ 3) den maximalen lokalen Kraftstoffverbrauch sowie die Stelle mit der stärksten Änderung des lokalen Kraftstoffverbrauchs ermitteln. - Aufgabe CAS 1 · 2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe d: Begründen, dass der Term 1000 - int_0^x k(z) dz den momentanen Tankinhalt in ml liefert. Teilaufgabe e: Durchschnittlichen Kraftstoffverbrauch auf der 3 km langen Testfahrt bestimmen… - Aufgabe CAS 2 · 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Wachstumsrate im Jahr 2040 am größten ist, und bestimmen Sie rechnerisch den Zeitraum in Jahren, in dem die Fichten mehr als 50 cm/a wachsen. - Aufgabe CAS 2 · 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Begründen der Achsensymmetrie der Wachstumsfunktion bezüglich t = 40 (Jahr 2040) sowie Bestimmen des 30-jährigen Zeitraums mit konstanter Unterschreitungsschwelle und der zugehörigen Wachstumsrate. - Aufgabe CAS 2 · 1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Bedeutung und Begründung des Integralausdrucks für die Gesamthöhe der Fichten nach 60 Jahren in Metern sowie Skizzieren des Graphen der Höhenfunktion bis zum Jahr 2180. - Aufgabe CAS 2 · 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist die Funktion h(t) = 50 * e^(0.1t) / (e^(0.1t) + 99). Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts W. Vergleichen Sie die maximale Wachstumsgeschwindigkeit von h mit den Angaben eines… - Aufgabe CAS 2 · 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Begründen, dass der Graph von n_4 zum Graphen von n_1 bezüglich des Punkts W(10·ln(99)|25) symmetrisch ist. Bedeutung von n_4 im Sachzusammenhang angeben und begründen. - Aufgabe CAS 2 · 3 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Ein Fichtenstamm hat einen BHD von 40 cm und ein Volumen von 0,17 m³ bis 1,3 m Höhe. Bei linearer Durchmesserabnahme soll der Durchmesser in 15 m Höhe berechnet werden. - Aufgabe CAS 2 · 3 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Mithilfe dreier Wertepaare für BHD und Verkaufspreis eine quadratische Funktion aufstellen und den Preis bei einem BHD von 80 cm bestimmen.
LK · Teil B · Analysis (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe 1 - 1 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = -8/27 x^3 + 2/3 x^2 mit den Nullstellen 0 und 9/4. a) Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von G_f und skizzieren Sie G_f (mit Berücksichtigung von f(-2)). b) Weisen Sie… - Aufgabe 1 - 2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Grad von g unter den beschriebenen Bedingungen nicht zwei sein kann. - Aufgabe 1 - 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem der Abstand des Punkts M(1,5|1) zum Graphen von g berechnet werden könnte, wenn der Funktionsterm von g bekannt wäre. - Aufgabe 1 - 3 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Ermitteln der jährlichen Wachstumsrate von 1960 bis 1985 für CO2-Werte, Prognose und Vergleich für 2010 sowie geometrische Transformationen der Sinusfunktion k(x) ausgehend von s(x) = sin(x) mit… - Aufgabe 1 - 3 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Mithilfe des Integrals den Mittelwert der Funktion k(x) über dem Intervall [0; 8] berechnen und die prozentuale Abweichung des Maximums von diesem Durchschnittswert bestimmen. - Aufgabe 2 - 1 · Graphen von f, f′ und F deuten
Graph einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades deuten: Wendetangente einzeichnen, Nullstellen von f' angeben, Tiefpunkt von f' bestimmen und begründen sowie eine Aussage über Integrale von… - Aufgabe 2 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe 2a: Begründen Sie, dass h_k nur die Nullstelle x = 0 hat. Geben Sie den Grenzwert von h_k für x -> +unendlich an. - Aufgabe 2 - 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 2b, 2c und 2d: Bestimmen Sie die x-Koordinate des Hochpunkts von G_k. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Abstand der Schnittpunkte der Tangente und Normale im Ursprung mit y = 1 gleich 10k… - Aufgabe 2 - 3 · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aufgabe 2 - 3: Modellierung des Zerfalls von Plutonium-241 und Americium-241 nach dem Reaktorunfall 1986. Bestimmung der Anfangsmasse und der prozentualen jährlichen Abnahme, Berechnung des Jahres… - Aufgabe 3 - 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Eigenschaften des Graphen von f_10 bezüglich Rechteckflächen und asymptotischem Verlauf analysieren (Aufgabe 1a und 1b). - Aufgabe 3 - 1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe 3, Teil 1c und 1d: Integral von f_10 berechnen und den geometrischen Flächeninhalt mit dem Betrag des Integralwerts vergleichen. - Aufgabe 3 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Gegeben ist die Schar f_k(x) = e^(kx) - x - 1. Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar genau einen Punkt gemeinsam haben, und bestimmen Sie dessen Koordinaten. Ordnen Sie den Graphen aus Abbildung 2… - Aufgabe 3 - 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Schar f_k(x) = e^(kx) - x - 1: Kettenregel (u, v, w angeben), Nachweis des Fehlens von Hoch- und Wendepunkten mittels Krümmung, Abstand des Tiefpunkts T_k zur Asymptote y = -x - 1,…
LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben a, b, f und g zur Modellierung einer Minigolfbahn: Lagebeziehung der Gerade g zur x1-Achse und zum Punkt L, Ebenengleichung von E in Koordinatenform, Nachweis des Kontakts des Balls zur… - Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben c, d, e und h: Nachweis, dass OPQR ein achsensymmetrisches Trapez ist, Bestimmung des Punkts S für ein ebenes Drachenviereck OPSR, Berechnung des Neigungswinkels der Bahn zum Untergrund… - Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnungen und geometrische Begründungen an einem im Koordinatensystem liegenden Würfel: Würfelvolumen, Nachweis eines Rechtecks mit Einzeichnung, Schnittwinkel mit der xz-Ebene, Koordinaten des… - Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Untersuchung von Geraden und Ebenen am Würfel: Koordinatenform der Ebene L durch das Rechteck ABGH, Bestimmung des Teilverhältnisses des Spurpunkts S und Analyse der Schnittfiguren einer Schar…
LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben a, b, g und h: Lagebeziehung der Geraden g zur x1-Achse und zum Punkt L; Koordinatengleichung der Ebene E; Nachweis, dass die Bahnkurve Bk in E liegt; Koordinaten des Treffpunkts mit der… - Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben c, d, e und f: Begründung, dass OPQR ein Rechteck ist; Verfahren zur Konstruktion des Drachenvierecks OPSR; Berechnung des Flächeninhalts der Bahn und des Neigungswinkels zum Untergrund. - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe i: Ermitteln der maximalen Höhe des Balls über dem horizontalen Untergrund (x1x2-Ebene) mithilfe der Funktion h(k) = 6k - 2k² und deren Ableitung. - Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben 1a und 1b: Eine Koordinatengleichung der Ebene H durch die Punkte A, B und D bestimmen sowie begründen, dass die Gerade i sowohl in der x1x2-Ebene als auch in der Ebene H liegt. - Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben 1c, 1d, 2a, 2b und 2c: Ermitteln der Koordinaten des Punktes E, Begründung gleicher Flächeninhalte von ACFD und BEFC ohne Rechnung, Nachweis der Rechtwinkligkeit und Berechnung des…
LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Untersuchung der Entwicklung einer Bienenvölkerpopulation anhand einer Übergangsmatrix M. Bestimmung des Übergangsdiagramms, Interpretation der Matrixeinträge, Rückrechnung zur Ermittlung des Jahres… - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben ist ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF in der xy-Ebene mit A(0|0|0) und B(3|0|0). a) Begründen, dass die Innenwinkel 120° groß sind, und Koordinaten von D bestimmen. b) Flächeninhalt der Raute…
LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Modellierung des Kundenwechselverhaltens zwischen drei Fastfood-Restaurants mittels Übergangsgraphen, stochastischen Matrizen, inversen Matrizen und Fixvektoren.
LK · Teil B · Stochastik (CAS) (2020)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
- Aufgabe 1 - 1 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten drei abgespielten Stücke verschieden sind. - Aufgabe 1 - 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zwölf abgespielten Stücken genau fünf lange Stücke befinden und dass sich mehr lange als kurze Stücke befinden. - Aufgabe 1 - 2 · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Aufgabe 2: Signifikanztest zu fehlerhaften CD-Hüllen mit H₀: p < 0,05 und Signifikanzniveau 10 %. a) Wahl der Nullhypothese begründen. b) Entscheidungsregel für Stichprobe n = 150 aufstellen. c)… - Aufgabe 1 - 3 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe 3: Glücksradspiel zum Gewinnen einer CD mit grauem Sektor (Winkel b im Bogenmaß). a) Gewinnwahrscheinlichkeit als Term in Abhängigkeit von b nachweisen. b) Werte für b bestimmen, sodass die… - Aufgabe 2 - 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Untersuchung der Funktionstüchtigkeit von Bauteilen aus Widerständen (Kategorie A und B). a) Wahrscheinlichkeiten P(E1) und P(E2) berechnen. b) Aussage beurteilen. c) Term 2p - p^2 für Kategorie B… - Aufgabe 2 - 2 · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Aufgabe 2: a) Berechnung des 95%-Konfidenzintervalls für eine Stichprobe von 200 Widerständen (176 funktionstüchtig) und Deutung im Sachzusammenhang. b) Formulierung einer Aufgabenstellung zu einem…
LK · Teil B · Stochastik (WTR) (2020)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
- Aufgabe WTR 1 · 1 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bei einer Jubiläumsfeier werden von einer CD mit 10 Stücken in zufälliger Reihenfolge Stücke mit Zurücklegen abgespielt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Stücke verschieden sind. - Aufgabe WTR 1 · 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Unter 12 abgespielten Musikstücken einer CD mit 4 kurzen und 6 langen Stücken (mit Zurücklegen) soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass sich: (1) genau fünf lange Stücke befinden, (2) mehr… - Aufgabe WTR 1 · 2 · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe 2 a: Begründung für die Wahl der Nullhypothese H0: p < 0,05. Teilaufgabe 2 b: Bestimmung der Entscheidungsregel bei n = 150 und Signifikanzniveau 10 %. Teilaufgabe 2 c: Ermittlung des… - Aufgabe WTR 1 · 3 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Glücksradspiel mit einem grauen Sektor vom Öffnungswinkel b (im Bogenmaß). 3 Drehungen für 1 Euro Einsatz; genau zweimal grau ergibt eine CD. a) Zeigen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit… - Aufgabe WTR 2 · 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgaben 1 a, 1 b, 1 c und 1 e: Wahrscheinlichkeiten und Stichprobenumfang bei binomialverteilter Anzahl verkaufter Mountainbikes berechnen. - Aufgabe WTR 2 · 1 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgaben 1 d, 1 f und 1 g: Berechnung einer bedingten Wahrscheinlichkeit über eine Vierfeldertafel, Ermittlung der Gesamtanzahl der im April verkauften Fahrräder anhand eines Diagramms sowie… - Aufgabe WTR 2 · 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Parameter einer Normalverteilung aus der Dichtefunktion ablesen (Erwartungswert und Standardabweichung) und symmetrisches Intervall für mindestens 98% Wahrscheinlichkeit bei vorgegebenen Parametern…
Du kannst auch nach Themen lernen
Übe ein Thema mit gemischten Aufgaben aus den Prüfungen und dem IQB-Pool aller Jahre.
- Längen, Winkel und Abstände im Raum · 272 Aufgaben · 45 % Wahrscheinlichkeit
- Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · 462 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
- Integralrechnung: Flächen und Bestände · 419 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
- Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · 306 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
- Funktionen und ihre Eigenschaften · 329 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
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