Aufgabe B5 - Funktionenscharen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit starken Temperaturwechseln in ihrer Umgebung zurechtkommen und finden zudem nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von 0 Uhr bis 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Dabei gibt $t$ mit $0 \le t \le 20$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ die Körpertemperatur in Grad Celsius an. Der Graph von $k$ ist in Abbildung 1.

c) Für weitere Dromedare lässt sich die Körpertemperatur für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise mithilfe von Funktionen $f_a$ modellieren mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120} t^3 + \frac{1}{4} t^2 - \frac{779}{480} t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Wert von $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ der jeweilige Graph zugeordnet ist.

Graph I: $a =$

Graph II: $a =$

Graph III: $a =$

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\text{ }^\circ\text{C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ diese Bedingung durch die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ erfüllt wird.