Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie besonders hohen Ansprüchen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf folgende Beschichtung von guter Qualität sind.

Teilaufgabe b)

(1)

Aus der Produktion werden für eine Untersuchung zufällig $500$ Schrauben entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $15$ dieser Schrauben fehlerhaft sind. [2 Punkte]

(2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens $200$ davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\ \%$ fehlerfrei sind. [3 Punkte]

Teilaufgabe c)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

(1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die produziert werden muss, damit in dieser Produktion der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens $5000$ beträgt. [2 Punkte]

(2)

Produziert werden $5236$ Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ deckt. [2 Punkte]

Teilaufgabe e)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\text{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\text{m}$) beschreiben.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schichtdicke (in $\mu\text{m}$) einer zufällig gewählten Schraube im Bereich zwischen $7{,}5$ und $8{,}5$ liegt. [2 Punkte]

(2)

Hat eine Normalverteilung die Dichtefunktion $\varphi$, so heißt die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\,\mathrm{d}t$ ihre Verteilungsfunktion.

Abbildung 1 zeigt die Dichtefunktion einer Normalverteilung, Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie zu jeder der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann. [4 Punkte]