Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$ , die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung $f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \text{ mit } a \in \mathbb{R}.$ besitzt. Alle zugehörigen Graphen liegen symmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$ .

a) (3)

Interpretieren Sie die nachstehende Aussage in geometrischer Hinsicht:

Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt:

$F_1(u) - F_1(0) \approx \int_{0}^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x.$

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass $\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x$ gilt.

Aufgabenstellung: Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (3) Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch: Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt: $F_1(u) - F_1(0) \approx \int_{0}^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x$ .

Lösung: Der Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen von $f_1$ , der $x$ -Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = u$ eingeschlossen wird, ist für alle $u > 2022$ ungefähr genauso groß wie für $u = 2022$ .

d) Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass $\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x$ gilt.

Lösung: Da der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft, ist das Flächenstück zwischen dem Graphen von $f_{-1}$ und der $x$ -Achse für das Intervall $[-0{,}5; 0]$ genauso groß wie das Flächenstück für das Intervall $[0; 0{,}5]$ . Da das erste Flächenstück unterhalb und das zweite Flächenstück oberhalb der $x$ -Achse liegt, muss $\int_{-0{,}5}^{0{,}5} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gelten. Daraus folgt die Gleichung.

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