Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden errichtet. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ modelliert ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ aneinander anschließen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt das nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Dieser verursacht Materialkosten von $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, wie hoch die Materialkosten für Element E2 sind.

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 die folgende Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8,4)^2 + \frac{132}{125}.$$

d) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten in Höhe von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

(i)

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ von E3 so bestimmen lässt, dass Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ entstehen.

Die Lösung der Gleichung liefert eine Länge von $d \approx 8,24\text{ m}$.

(ii)

Bestimmen Sie die Höhe von E4, die daraus folgt.

(iii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 eine feste Länge von $1,5\text{ m}$ hat.

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

(i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe übersteigen.

(ii)

Daher wird in einem neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin $1,5\text{ m}$ lang sein.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so ermitteln lässt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ ergeben.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.]