Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Den Längsschnitt dieses Abschnitts, wie ihn der Architekt entworfen hat, zeigt Abbildung 1.

¹ Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4, die äußeren Elemente, sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$ Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Realität für $1\text{ m}$.

Für die obere Randlinie von Element E3 wird eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades als Modell verwendet. Ihr Graph stimmt im Punkt $B$ in Funktionswert und Steigung mit dem Graphen von $f$ überein (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt dieser Randlinie von E3 befindet sich in einer horizontalen Entfernung von $3{,}6\text{ m}$ vom Punkt $B$.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$. [5 Punkte]