Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Betrachtet wird der Stumpf $ABCDEFGH$ der schiefen Pyramide $ABCDS$. Die Grundfläche $ABCD$ mit $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ sowie die Deckfläche des Stumpfs mit $E(3|0|4)$, $F(3|3|4)$, $G(0|3|4)$ und $H(0|0|4)$ sind quadratisch.

Der Mittelpunkt $M$ der Kante $\overline{AB}$ und der Mittelpunkt $N$ der Kante $\overline{CG}$ liegen auf der Gerade$$j: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \text{mit } \mu \in \mathbb{R}.$$

Die Punkte der Kante $\overline{BC}$ lassen sich in der Form $P_w(w|4|0)$ darstellen.

a)

Zeichnen Sie den Stumpf in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.

c)

Bestimmen Sie das Volumen des Stumpfs.

f)

Es gibt Punkte $P_w$ der Kante $\overline{BC}$, für die der von den Strecken $\overline{P_wM}$ und $\overline{P_wH}$ eingeschlossene Winkel größer als $70^\circ$ ist. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von $w$.

Betrachtet wird der Stumpf $ABCDEFGH$ der schiefen Pyramide $ABCDS$. Die Grundfläche $ABCD$ mit $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ sowie die Deckfläche des Stumpfs mit $E(3|0|4)$, $F(3|3|4)$, $G(0|3|4)$ und $H(0|0|4)$ sind quadratisch.

Der Mittelpunkt $M$ der Kante $\overline{AB}$ und der Mittelpunkt $N$ der Kante $\overline{CG}$ liegen auf der Gerade$$j: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \text{mit } \mu \in \mathbb{R}.$$

Die Punkte der Kante $\overline{BC}$ lassen sich in der Form $P_w(w|4|0)$ darstellen.

b)

Erläutern Sie das folgende Vorgehen zur Bestimmung der $x_3$-Koordinate der Pyramidenspitze S:

$$\text{Aus } \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s \end{pmatrix} \text{ ergibt sich } s = 16.$$

d)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $j$ mit der $x_1x_3$-Ebene.

$S_{x_1x_3}($

$|$

$|$

$)$

e)

Für einen Punkt $P_w$ der Kante $\overline{BC}$ schneidet die Gerade durch $H$ und $P_w$ die Gerade $j$. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von $w$.

Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte $A$, $B(8|0|0)$, $C(8|8|0)$, $D$, $E(4|0|6)$, $F(8|4|6)$, $G(4|8|6)$, $H$ und $S(4|4|12)$ dargestellt. Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität. Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

a)

Die Ebene $L$ enthält die Punkte $C$, $G$ und $F$. Geben Sie eine Gleichung von $L$ in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch $S$ in $L$ liegt. [3 BE]

Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte $A$, $B(8|0|0)$, $C(8|8|0)$, $D$, $E(4|0|6)$, $F(8|4|6)$, $G(4|8|6)$, $H$ und $S(4|4|12)$ dargestellt. Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität. Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

b)

Weisen Sie nach, dass das Viereck CGSF eine Raute ist.

c)

Gegeben sind drei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

$M_1: x_1 = 8$

$M_2: x_1 - x_2 = 0$

$M_3: x_3 = 6$

Eine dieser Ebenen stellt eine Symmetrieebene des Kirchendachs dar. Geben Sie diese Ebene an und beschreiben Sie ihre Lage.

d)

Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Vierecks CGSF im Punkt S sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen.

e)

Die Gerade $q_1$ verläuft durch $S$ und $F$, die Gerade $q_2$ durch $S$ und $G$. Die beiden Geraden schneiden die $x_1x_2$-Ebene in den Punkten $Q_1$ bzw. $Q_2$. Geben Sie das Verhältnis des Abstands von $Q_1$ und $Q_2$ zum Abstand von $F$ und $G$ an. Begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von $Q_1$ und $Q_2$ zu berechnen.

f)

Zur Stabilisierung wird zwischen den durch $E$ und $G$ dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch $\overline{SF}$ dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit $R$ bezeichnet. Berechnen Sie die Koordinaten von $R$.

R (

|

|

)