Abitur NRW Mathematik 2023

Abiturprüfungen Mathematik in Nordrhein-Westfalen 2023 und Aufgaben aus dem IQB-Pool: GK · Haupttermin · CAS. Mit Lösung zu jeder Aufgabe.

GK · Haupttermin · CAS (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

Aufgabe A1 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = x³ - 6x² + 3x + 10 und g(x) = -6x + 10. (1) Schnittstellen berechnen. (2) Zeigen, dass der Graph von g die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe A1 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
f(x) = 3x² - 12. (i) Nullstellen von f bestimmen. (ii) Flächeninhalt berechnen, der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.
Aufgabe A1 c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
c) f(x) = x^2 * e^x. (1) Zeigen Sie: f'(x) = x*(x+2)*e^x. (2) Bestimmen Sie die Extremstellen und deren Art.
Aufgabe A1 d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
d) Gegeben Gerade g und Gerade h durch A(4|0|0) und B(5|1|b). (1) Begründen Sie, dass A nicht auf g liegt. (2) g und h schneiden sich. Ermitteln Sie b.
Aufgabe A1 e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
e) Gegeben A(-1|3|2), B(1|2|4), C(2|4|-1). (1) Prüfen Sie, ob Dreieck ABC bei A rechtwinklig ist. (2) g geht durch A und B. Ermitteln Sie die Punkte P und Q auf g im Abstand 9 von A.
Aufgabe A2 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Berechnen Sie die gemeinsamen Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x) und weisen Sie nach, dass der Graph von g die Tangente an f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe A2 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x^2 - 12 und bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Aufgabe A2 c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Zeigen Sie f'(x) = x(x+2)e^x und bestimmen Sie die Extremstellen und die Art der Extremstellen von f(x) = x^2 e^x.
Aufgabe A2 d · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe d: (1) Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die jeweils passende Wahrscheinlichkeit (p₁ = 0,2, p₂ = 0,4, p₃ = 0,8 bei n = 10) zu. (2) Für eine Zufallsgröße X mit n = 10 ist das…
Aufgabe A2 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
e) (1) Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit p = 0,2 und Standardabweichung σ = 1,2. Berechnen Sie n. (2) Aus einer Urne mit 2 schwarzen und 8 weißen Kugeln wird 9-mal mit Zurücklegen gezogen.…
Aufgabe A3 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 10 und g(x) = -6x + 10. (1) Stellen der gemeinsamen Punkte berechnen. (2) Zeigen, dass der Graph von g Tangente an f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe A3 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = 3x^2 - 12. (i) Nullstellen von f berechnen. (ii) Flächeninhalt zwischen Graph von f und der x-Achse berechnen.
Aufgabe A3 c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = x^2 * e^x. (1) Zeigen Sie: f'(x) = x * (x + 2) * e^x. (2) Bestimmen Sie die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion f.
Aufgabe A3 d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
d) Gegeben sind Gerade $g$ und Punkte $A(4|0|0)$ und $B(5|1|b)$ auf Gerade $h$. (1) Begründen Sie, dass $A$ nicht auf $g$ liegt. (2) $g$ und $h$ schneiden sich. Ermitteln Sie den Wert von $b$.
Aufgabe A3 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilungen zuordnen: Histogrammen I bis III jeweils p_1 = 0,2, p_2 = 0,4 oder p_3 = 0,8 zuordnen. Zudem aus einem unvollständigen Histogramm mit P(X >= 4) ≈ 0,35 näherungsweise P(X <= 2)…
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a(1) und c(1): Beschreiben, wie der Graph von q'(x) = -q(x) aus q entsteht, sowie Grenzwert c der Durchflussrate w(x) für x gegen unendlich angeben und im Sachzusammenhang deuten.
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben a(2), b(2), b(3), c(2) und c(3): Bestimmung der gemeinsamen Tangente von p und q, Berechnung der Extrempunkte von h und deren Abstand, Bestimmung der Rechtecksfläche TPHQ und des Anteils…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben a(3), b(1) und c(4): Integralwert von (q(x)-p(x)) von 0 bis 2 berechnen und geometrisch interpretieren, Fläche zwischen dem Graphen von h und der x-Achse bestimmen, sowie Wassermengen…
Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Untersuchung der Funktion f auf Punktsymmetrie und Achsenschnittpunkte, Bestimmung der Anzahl möglicher erzeugter Graphen durch drei Transformationen sowie Ermittlung der Zeitdauer mit Temperaturen…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung von Tiefpunkt und Tangentengleichung für f(x) sowie Analyse der Wendestelle und Deutung einer Extremwertrechnung für die Modellfunktion g(x).
Aufgabe B2 - Graphen deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
Begründen Sie, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Temperaturverlaufs mindestens den Grad 4 haben sollte.
Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Aufgabe B2 Teilaufgabe c(4)(ii): Aus gegebenen Bedingungen an Tiefpunkt, Hochpunkt und maximale Abnahmerate ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten einer ganzrationalen Funktion 4.…
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe B2 Teilaufgaben a(2) und a(5): Bestimmung des Werts des symmetrischen Integrals über f sowie Erklärung anhand der Punktsymmetrie. Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphen G_f und…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgabe a und b: Bestimmung der Koordinaten von B_1, Begründung für die Trapezform von A_2A_3B_3B_2, Berechnung des Volumens von Körper K, Berechnung des Schnittwinkels zwischen A_2A_3 und…
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
c) (1) Begründen Sie, dass E die Ebene der Fläche A1A2B2B1 ist. (2) Ein Mast steht bei S(0|0|35), Sonnenstrahlrichtung r=(6, 0, -2)^T. Prüfen Sie, ob der Schatten der Mastspitze innerhalb der Fläche…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe B4 a: (1) Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm darstellen (Inlands-/Auslandsreisen und Verkehrsmittel Bahn / nicht Bahn). (2) Gegeben: Bahn wurde genutzt. Berechnen der…
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe b: Modellierung durch Binomialverteilung (Begründung), Berechnung von P(X >= 6) für n = 20, p = 0,26 und Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der 2-Sigma-Umgebung um den Erwartungswert.…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe d: Bei einer Stichprobe von 100 Reisen wird bei 34 oder mehr Inlandsreisen entschieden, dass sich der Anteil erhöht hat. (1) Wahrscheinlichkeit bestimmen, fälschlicherweise eine Erhöhung…
Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aufgabe B5 zur Analysis: Modellierung einer Hängebrücke mit Fahrbahn, Pfeilern und Seilen. In Teilaufgabe a(1)-a(3) werden die Gesamtlänge der Fahrbahn (640 m), der Term und das Intervall des linken…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen -0,7 und 0,7 liegt.
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität.

GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = x³ - 6x² + 3x + 10 und g(x) = -6x + 10. (1) Berechnen Sie die Schnittstellen von f und g. (2) Zeigen Sie, dass g die Tangente an f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Berechnen Sie die Nullstellen von f. (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.
Aufgabe c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
c) f(x) = x^2 * e^x. (1) Zeigen Sie: f'(x) = x*(x+2)*e^x. (2) Bestimmen Sie die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion f.
Aufgabe d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist g: x = (2, 3, -7)^T + s*(1, 0, 5)^T und h durch A(4|0|0) und B(5|1|b). (1) Begründen Sie, dass A nicht auf g liegt. (2) g und h schneiden sich. Ermitteln Sie b.
Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben sind die Punkte A(-1|3|2), B(1|2|4) und C(2|4|-1). (1) Untersuchen Sie, ob das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei A besitzt. (2) g ist die Gerade durch die Punkte A und B. Die Punkte P und…
Aufgabe B1 - Teilaufgabe a (1) und (2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
a)(1) Beschreiben Sie, wie der Graph von q' aus dem Graphen von q erzeugt werden kann. (2) Zeigen Sie, dass die Graphen von p und q in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und…
Aufgabe B1 - Teilaufgabe a (3) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
a)(3) Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{2} (q(x)-p(x))\,\mathrm{d}x$ an und interpretieren Sie diesen Wert geometrisch.
Aufgabe B1 - Teilaufgabe b (1) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist die Funktion h(x) = (x^2 - x - 1) * e^(-x). Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von h und die x-Achse einschließen.
Aufgabe B1 - Teilaufgabe b (2) und (3) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie deren Abstand. Ermitteln Sie anschließend Flächeninhalt des Rechtecks TPHQ, den Inhalt des schraffierten Teilstücks und…
Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Für x -> unendlich gilt w(x) -> c. Bestimmen Sie den Wert c sowie die Bedeutung im Sachzusammenhang.
Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (2) und (3) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
c(2): Stellen bestimmen, an denen momentane und mittlere Änderungsrate über [0;10] übereinstimmen. c(3): Momentane Durchflussrate für den Zeitpunkt der stärksten Abnahme in [0;10] bestimmen.
Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (4) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe c(4): (i) Bestimmen der Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden an der Messstelle vorbeifließt, durch Integration der Durchflussrate w(x). (ii) Berechnen der Zeiträume von drei…
Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Begründen Sie, dass G_f symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes (0|0) ist, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G_f mit den Koordinatenachsen.
Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (2) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Bestimmen Sie den Wert des Integrals von -b bis b über f(x) dx für b > 0 und erklären Sie das Ergebnis.
Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (3) bis (5) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Zeigen Sie, dass f einen Tiefpunkt bei x = sqrt(12) hat, bestimmen Sie die Tangente an G_f in P(6|f(6)), ermitteln Sie die Fläche zwischen G_f und t sowie den Anteil der linken Teilfläche bezüglich…
Aufgabe B2 - Teilaufgabe b · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aus G_f werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt: Spiegeln an der x-Achse, Verschieben um 6 in positive x-Richtung, Verschieben um 14 in positive y-Richtung. Geben Sie an, wie viele verschiedene…
Aufgabe B2 - Teilaufgabe c (1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Ermitteln Sie, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über 15 °C liegt.
Aufgabe B2 - Teilaufgabe c (2) und (3) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe c (2) und (3): Wendestelle von g angeben und ihre Bedeutung im Sachkontext (Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur) beschreiben. Zu gegebenen Rechnungen (g'(x)=0 und Differenz der…
Aufgabe B2 - Teilaufgabe c (4) · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe c (4): (i) Begründen, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung mindestens Grad 4 haben muss. (ii) Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter a, b, c, d, e einer ganzrationalen…
Aufgabe B3 - Teilaufgabe a und b · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgabe a) und b): Geometrische Eigenschaften des Körpers K (Prisma mit trapezförmiger Grundfläche): Koordinaten von B_1 angeben, Begründung für die Trapezform von A_2A_3B_3B_2 und Volumen…
Aufgabe B3 - Teilaufgabe c · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe c: (1) Begründen, dass die gegebene Parametergleichung die Ebene E darstellt, in der die Fläche A₁A₂B₂B₁ liegt (3 Punkte). (2) Berechnen des Schnittpunkts Q der Geraden durch S(0|0|35)…
Aufgabe B4 - Teilaufgabe a · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: (1) Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm darstellen. (2) Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es sich um eine Inlandsreise handelte, wenn die Bahn zur Anreise genutzt…
Aufgabe B4 - Teilaufgabe b und c · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgaben b und c: Begründung für Binomialverteilung, Berechnung von P(X >= 6), 2-Sigma-Umgebung und Mindeststichprobenumfang n für P(Y >= 5) >= 0,99.
Aufgabe B4 - Teilaufgabe d · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe d: Berechnung des Fehlers 1. Art P(Z >= 34) bei p = 0,26 und des Fehlers 2. Art P(Z <= 33) bei p = 0,3 für n = 100.
Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (1) bis (3) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a(1) bis a(3): Zeigen, dass die Fahrbahn 640 m lang ist; Term l(x) und Intervall für das linke Abspannseil angeben; Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche berechnen.
Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (4) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe a(4): Rechnerisch untersuchen, ob die Steigung des rechten Abspannseils am Pfeiler (x = 20) zwischen -0,7 und 0,7 liegt.
Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (5) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a(5): Flächeninhalt des durch Pfeiler, Abspannseil und Fahrbahn begrenzten Flächenstücks in der Realität mittels bestimmtem Integral ermitteln.
Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe b: (1) Achsensymmetrie des Funktionsterms s(x) begründen. (2) Positionen zweier Halteseile der Länge 643061/64000 m in der Realität berechnen. (3) Gleichung für die x-Koordinate des höher…

GK · Haupttermin · GTR (2023)

Aufgabe A1 - Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = x³ - 6x² + 3x + 10 und g(x) = -6x + 10. (1) Berechnen Sie die Stellen der gemeinsamen Punkte. (2) Zeigen Sie, dass g die Tangente an f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe A1 - Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Berechnen Sie die Nullstellen von f. (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse.
Aufgabe A1 - Aufgabe c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
c) Funktion f(x) = x^2 * e^x. (1) Zeigen, dass f'(x) = x * (x + 2) * e^x. (2) Extremstellen und Art der Extremstellen bestimmen.
Aufgabe A1 - Aufgabe d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
d) Geraden g und h untersuchen: (1) Begründen, dass A(4|0|0) nicht auf g liegt. (2) Den Wert von b ermitteln, für den sich g und h schneiden.
Aufgabe A1 - Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Punkte A(-1|3|2), B(1|2|4), C(2|4|-1). (1) Untersuchen, ob Dreieck ABC bei A rechtwinklig ist. (2) Gerade g durch A und B. Punkte P und Q auf g mit Abstand 9 LE von A ermitteln.
Aufgabe A2 - Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = x³ - 6x² + 3x + 10 und g(x) = -6x + 10. Berechnen Sie die Schnittstellen von f und g. Zeigen Sie, dass g die Tangente an f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe A2 - Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. Berechnen Sie die Nullstellen von f und den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.
Aufgabe A2 - Aufgabe c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
c) Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = x^2 * e^x. (1) Zeigen Sie: f'(x) = x*(x+2)*e^x. (2) Bestimmen Sie die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion f.
Aufgabe A2 - Aufgabe d · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe d: (1) Ordnen Sie den Histogrammen I bis III der Zufallsgrößen A, B und C (jeweils n = 10) die passende Wahrscheinlichkeit p1 = 0,2, p2 = 0,4 oder p3 = 0,8 zu. (2) Für Zufallsgröße X mit…
Aufgabe A2 - Aufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
e) (1) Berechnen von n für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit p = 0,2 und Standardabweichung sigma = 1,2. (2) Urne mit 2 schwarzen und 8 weißen Kugeln, 9-maliges Ziehen mit Zurücklegen. (i) Term…
Aufgabe A3 - Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = x³ - 6x² + 3x + 10 und g(x) = -6x + 10. (1) Schnittstellen der Graphen berechnen. (2) Nachweisen, dass g die Tangente an f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe A3 - Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Berechnen Sie die Nullstellen von f. (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.
Aufgabe A3 - Aufgabe c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = x^2 * e^x. Zeigen Sie f'(x) = x * (x + 2) * e^x und bestimmen Sie die Extremstellen und deren Art.
Aufgabe A3 - Aufgabe d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Untersuchen Sie die Gerade g und die Gerade h durch A(4|0|0) und B(5|1|b). Begründen Sie, dass A nicht auf g liegt, und berechnen Sie b, sodass sich g und h schneiden.
Aufgabe A3 - Aufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
e) (1) Histogramme I bis III den Wahrscheinlichkeiten p1=0,2, p2=0,4 und p3=0,8 zuordnen. (2) Bei unvollständigem Histogramm mit P(X >= 4) ≈ 0,35 näherungsweise P(X <= 2) und P(X = 3) ermitteln.
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
a)(1) Beschreiben, wie der Graph von q' aus q erzeugt wird. c)(1) Wert c und Bedeutung im Sachzusammenhang für lim x->oo w(x).
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Bestimmung von gemeinsamen Tangenten, Ableitung von h, Koordinaten und Abstand der Extrempunkte, Flächenanteil am Rechteck, Stellen gleicher Änderungsrate und Zeitpunkt stärkster Abnahme.
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnung bestimmter Integrale zur Flächeninhalts- und Volumenbestimmung sowie Interpretation im geometrischen und physikalischen Sachkontext.
Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aufgaben a(1), b und c(1): Symmetrie und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen von f, Anzahl und Begründung der geometrisch erzeugbaren Graphen sowie Bestimmung der Zeitspanne mit…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgaben a(3), a(4), c(2), c(3): Nachweis eines Tiefpunkts bei x = √12, Tangentengleichung im Punkt P(6|f(6)), Wendestelle von g und deren Bedeutung sowie Deutung gegebener Extremwertrechnungen.
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgaben a(2) und a(5): Deutung des symmetrischen Integrals über f, Bestimmung einer Stammfunktion von d(x), Berechnung des eingeschlossenen Flächeninhalts sowie des Anteils der linken Teilfläche.
Aufgabe B2 - Graphen deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
Teilaufgabe c(4)(i): Begründen Sie anhand von Abbildung 2, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des Temperaturverlaufs mindestens den Grad 4 haben sollte.
Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Aus gegebenen Eigenschaften der Temperaturfunktion h (Extrema bei x=1 und x=7 mit h(7)=17, maximaler Temperaturabfall bei x=10,5 mit h'(10,5)=-4,2) soll ein Gleichungssystem bzw. die fünf…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a) und b): Ermittlung der Koordinaten von B_1, Begründung für die Trapezform von A_2A_3B_3B_2, Berechnung des Volumens von K, Schnittwinkel zwischen A_2A_3 und A_2B_2, Koordinaten des…
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe c): Begründung der Ebenengleichung von E für die Fläche A_1A_2B_2B_1 und Untersuchung, ob der Schatten der Mastspitze S(0|0|35) in Sonnenstrahlrichtung r=(6, 0, -2) auf dieser Fläche…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Baumdiagramm zur Urlauberbefragung erstellen und die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Bahnreise eine Inlandsreise war.
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung für Urlaubsreisen modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen (mindestens 6 Inlandsreisen, 2-Sigma-Umgebung) und minimale Stichprobengröße für mindestens 5 Auslandsreisen bestimmen.
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. Art und Fehler 2. Art bei einem rechtsseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang n = 100 und Ablehnungsbereich ab 34 berechnen.
Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a(1)-(3) und b(1)-(2): Modellierung der Hängebrücke, Nachweis der Brückenlänge, Term und Intervall des linken Abspannseils, Pfeilerhöhe sowie Symmetriebegründung und Gleichungsansatz für…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe a(4)-(5): Ableitung der Exponentialfunktion r(x) mittels Kettenregel nachweisen und die Auftreffsteigung des Abspannseils am Pfeiler untersuchen.
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a(6): Flächeninhalt zwischen rechtem Pfeiler, Abspannseil und Fahrbahn mittels bestimmtem Integral ermitteln und in die Realität umrechnen.

GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = x³ - 6x² + 3x + 10 und g(x) = -6x + 10. (1) Schnittstellen berechnen. (2) Zeigen, dass g im Punkt P(3|f(3)) Tangente an f ist.
Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Nullstellen berechnen. (ii) Flächeninhalt zwischen Graph von f und der x-Achse berechnen.
Aufgabe c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
c) Funktion f(x) = x^2 * e^x. (1) Zeigen Sie f'(x) = x*(x+2)*e^x. (2) Extremstellen und Art bestimmen.
Aufgabe d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
d) Geraden g und h durch A(4|0|0) und B(5|1|b). (1) Zeigen, dass A nicht auf g liegt. (2) Bestimmen von b, sodass g und h sich schneiden.
Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
e) Gegeben A(-1|3|2), B(1|2|4), C(2|4|-1). (1) Prüfen, ob Dreieck ABC rechten Winkel bei A besitzt. (2) Punkte P und Q auf g(AB) mit Abstand 9 von A ermitteln.
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe a(1) und c(1): Transformation des Graphen von q' aus q (Spiegelung an der x-Achse) sowie Grenzwert c für x gegen Unendlich von w(x) und dessen Interpretation im Sachzusammenhang.
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben a(2), b(2), c(2) und c(3): Gemeinsame Tangente der Graphen p und q bestimmen; Ableitung h'(x) nachweisen, Extrempunkte und deren Abstand berechnen; Stellen gleicher momentaner und…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben a(3), b(1), b(3) und c(4): Bestimmung und geometrische Interpretation von Integralen, Berechnung eingeschlossener Flächeninhalte und des prozentualen Flächenanteils im Rechteck sowie…
Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Untersuchung von f(x) bezüglich Punktsymmetrie zum Wendepunkt (0|0) und Schnittpunkten mit den Achsen; Bestimmung der Anzahl verschiedener Graphen bei Permutation von drei geometrischen…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Differentialrechnung zu f und g: Nachweis eines Tiefpunkts bei x=sqrt(12), Bestimmung der Tangentengleichung im Punkt P(6|f(6)), Bestimmung und Interpretation der Wendestelle von g sowie Deutung…
Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Begründung, warum die Modellierung in Abbildung 2 mindestens Grad 4 erfordert, und Aufstellen eines Gleichungssystems aus fünf Steckbriefbedingungen für die Parameter a, b, c, d, e.
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Erklärung des Integrals über symmetrische Intervalle bei Punktsymmetrie; Bestimmung einer Stammfunktion der Differenzfunktion d(x), Berechnung des Flächeninhalts zwischen Graph und Tangente sowie des…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgabe a: Angabe der Koordinaten von B_1, Begründung für die Trapezform von A_2A_3B_3B_2, Berechnung des Volumens des Körpers K und des Schnittwinkels zwischen A_2A_3 und A_2B_2. Teilaufgabe b:…
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe c: Begründung der Ebenengleichung in Parameterform für die Fläche A_1A_2B_2B_1 und Untersuchung, ob der Schatten der Mastspitze S(0|0|35) bei Lichtrichtung r=(6, 0, -2) innerhalb der…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und b… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
a) (1) Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm darstellen. (2) Bei Nutzung der Bahn berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit es sich um eine Inlandsreise handelte.
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
b) (1) Begründen, warum Binomialverteilung in guter Näherung anwendbar ist. (2) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass von 20 Urlaubsreisen mindestens 6 Inlandsreisen sind. (3) Wahrscheinlichkeit für die…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Tests und In… · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
d) (1) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art bestimmen: Team geht fälschlicherweise von einer Erhöhung des Inlandsreise-Anteils aus, obwohl er unverändert bei 26% geblieben ist (n=100,…
Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aufgabe B5 zu Funktionen und Modellierung: Teilaufgaben a(1) Nullstelle und Gesamtlänge, a(2) Term und Intervall des linken Abspannseils, a(3) Pfeilerhöhe über Wasseroberfläche sowie b(1)…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B5 zur Differentialrechnung: Ableiten der Exponentialfunktion r(x) mittels Kettenregel in Teilaufgabe a(4) sowie Berechnung und Beurteilung der Steigung an der Pfeilerposition in Teilaufgabe…
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe B5(a)(6): Berechnung des Flächeninhalts zwischen rechtem Pfeiler, Abspannseil und Fahrbahn in der Realität mittels bestimmtem Integral.

GK · Nachtermin · CAS (2023)

Teil A - Aufgabe a · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = x^3 - 2x^2. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.
Teil A - Aufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = 1/6 x^3 - 2x^2 + 28/3. (1) Weisen Sie nach, dass f bei x=0 einen Hochpunkt hat. (2) Begründen Sie, dass die Tangente an x=0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Zeigen Sie, dass die…
Teil A - Aufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = (2x - 1)e^(2x) und F(x) = (x - 1)e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Fläche zwischen x = 0 und x…
Teil A - Aufgabe d (Vektorgeometrie) · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben sind die Vektoren u = (4, p, q)^T und v = (-2, 2, 1)^T mit p, q in R. (1) Werte für p und q für Kollinearität angeben. (2) Werte für p und q angeben, sodass u und v ein Rechteck aufspannen.…
Teil A - Aufgabe e (Ebene) · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist die Ebene E in Parameterform. (1)(i) Bestimmen der ganzzahligen Parameter r und s für Punkt A anhand von Abbildung 2. (ii) Einzeichnen des Parameterbereichs 0 <= r <= 2 und -1 <= s <= 1…
Teil A - Aufgabe d (Würfelspiel) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k) für die Anzahl der Sechsen bei 3 Würfen und Nachweis der Fairness des Spiels durch Berechnung des Erwartungswerts.
Teil A - Aufgabe e (Mandarinen) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit 10 %, dass eine Mandarine Kerne hat. In einer Kiste befinden sich 100 Mandarinen. (1) Berechnen Sie den Erwartungswert und die…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B1: Kurvendiskussion von f(x) = (x+0,5)(x-0,5)e^x (lokale Extrempunkte, Wendestellen und Tangente im Punkt (-1,5|f(-1,5))) sowie Untersuchung der Dreiecksfläche PQ_zR_z am Graphen von g(x) =…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a(4): (i) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche A, die zwischen dem Graphen der Funktion f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des…
Aufgabe B1 - Funktionen und Transformationen · Funktionen und ihre Eigenschaften
c) Gegeben ist h(x) = (x-1)·x·e^(x-0,5). (1) Geben Sie an, um welche Transformation aus dem Graphen von f es sich handelt. (2) Bestimmen Sie die Koordinaten des weiteren Schnittpunktes T der Graphen…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B2 (Differentialrechnung): Gegeben ist g(x) = (2/3)x^3 - 3x^2 + 4x - 7/10. Bearbeiten Sie: a) (1) g'(x) angeben und Koordinaten der Extrempunkte H und T berechnen; (2) Abstand zwischen H und…
Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Ermitteln einer Funktionsgleichung von h vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, die y-Achse bei (0 | 0,375) schneidet und einen Tiefpunkt bei (sqrt(10)/2 | 0) besitzt.
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe c(2) und c(3): Inhalt der schraffierten Fläche des Seitenteils aus Integralen bestimmen sowie Masse eines Seitenteils der optimierten Liege berechnen.
Aufgabe B2 - Transformationen · Funktionen und ihre Eigenschaften
Begründen Sie, warum für die Modellierung der Liegefläche einer Kinderliege mit f(x) = g(k·x) Werte von k < 1 nicht geeignet sind.
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben b(1) und c(1): - b(1)(i): Aufstellen einer Parametergleichung der Ebene E durch die Punkte A_1, A_2 und B_1. - b(1)(ii): Rechnerische Überprüfung, ob der Punkt B_2 in der Ebene E liegt.…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnungen am Pyramidenstumpf und dem durch Drehung entstehenden Körper: Koordinaten von A3, Volumen, Flächeninhalt der Schnittfläche FS in Höhe 5, Kantenwinkel zwischen A1B1 und A1A2, prozentuale…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: (1) Zweistufiges beschriftetes Baumdiagramm zur Gesichtserkennung erstellen. (2) (i) Wahrscheinlichkeit P(S) bestimmen, dass eine Person als Zielperson eingestuft wird. (ii) Bedingte…
Aufgabe B4 - Binomialverteilung · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Berechnungen mit der Binomialverteilung zur Gesichtserkennungssoftware: b) (1) P(X > 40) bei n = 50, p = 0,8; (2) Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Gegeben ist eine Stichprobe von n = 100 Videos mit Annahmebereich X >= 95. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ingenieurin von der Herstellerangabe ausgeht, obwohl die tatsächliche…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B5 (Teilaufgaben a und c): Untersuchung der Funktion f(x) = 0,5x^2·e^(-1,2x+1,2) zur Modellierung einer Skoliose-Wirbelsäule. Rechnerische Bestimmung der Extrempunkte T(0|0) und H(5/3 | 0,62)…
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b: (1) Berechnung der Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse. (2) Bestimmung des Inhalts der schraffierten Fläche für die Korsettanfertigung mittels Integralrechnung.

GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabe a · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a: Gegeben ist f(x) = x³ - 2x². (1) Nullstellen bestimmen. (2) Inhalt der Fläche berechnen, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.
Aufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe b: Gegeben ist f(x) = (1/6)x³ - 2x² + 28/3. (1) Nachweisen, dass f bei x=0 einen lokalen Hochpunkt hat. (2) Begründen, dass die Tangente bei x=0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Zeigen,…
Aufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe c: (1) Nachweisen, dass F eine Stammfunktion von f(x) = (2x-1)*e^(2x) ist. (2) Flächeninhalt der schraffierten Fläche zwischen x=0 und x=1/2 berechnen.
Aufgabe d · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgabe d: (1) Werte für p und q bestimmen, sodass u und v kollinear sind. (2) Beispiel für p und q angeben, sodass u und v ein Rechteck aufspannen. (3) Prüfen, ob es Werte für p und q gibt,…
Aufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe e: Parameterdarstellung einer Ebene graphisch deuten und Punktprobe durchführen. (1)(i) Bestimmen der ganzzahligen Parameter r und s für Punkt A in Abbildung 2. (1)(ii) Einzeichnen des…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B1 (Differentialrechnung): Teilaufgaben a(1)-(3) und b(1)-(4). Bestimmung der Extrempunkte und rechnerische Untersuchung auf Wendestellen von f(x) = (x+0,5)(x-0,5)e^x, Nachweis der…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
a) (4) (i) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche A, die zwischen dem Graphen der Funktion f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Ein Teil der Fläche A liegt unterhalb der x-Achse.…
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe c: Transformationen von Funktionsgraphen und Schnittpunkte von Exponentialfunktionen untersuchen (Verschiebung von f zu h, Schnittpunkt T von g und h, alternative Transformation von f…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B2 (Differentialrechnung): In Teilaufgabe a werden die Ableitung g'(x), die Extrempunkte H und T, der Abstand zwischen ihnen, die Steigung an der Wendestelle sowie die Eignung als bequeme…
Aufgabe B2 - Steckbriefaufgaben · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h, einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, die y-Achse bei (0 | 0,375) schneidet und bei (sqrt(10)/2 | 0)…
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe c(2)-(3): Ermitteln des Inhalts der schraffierten Fläche des Längsschnitts unter Angabe der Integrale sowie Berechnung der Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.
Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Begründen Sie im Sachkontext, warum Werte von k < 1 für die Funktion f(x) = g(k·x) nicht zur Modellierung einer Kinderliege geeignet sind.
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgabe a: (1) Koordinaten von A3 bestimmen. (2) Volumen des Pyramidenstumpfes berechnen. (3) Flächeninhalt F_s der quadratischen Schnittfläche in Höhe 5 berechnen. Teilaufgabe b: (2)…
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
b) (1) Ebene E durch A1, A2, B1: Parametergleichung aufstellen und rechnerisch prüfen, ob B2 in E liegt. c) (1) Rechnerisch nachweisen, dass die Geraden A3B3 und A4B4 windschief zueinander sind.
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und b… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: (1) Erstellen eines zweistufigen Baumdiagramms zur Gesichtserkennung (Zielperson / Kontrollperson und Einstufung durch die Software). (2)(i) Berechnen der Wahrscheinlichkeit P(S), dass…
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe b: Binomialverteilte Zufallsgröße X mit p=0,8. (1) P(X > 40) für n=50 berechnen. (2) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass X für n=100 um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Tests und In… · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Gegeben ist eine Stichprobe von n = 100 Videos. Es wird davon ausgegangen, dass die Angabe zutrifft, wenn mindestens 95 Treffer erzielt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens 95…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B5 zur Differentialrechnung: Bestimmung der Extrempunkte von f(x) = 0,5x^2 e^(-1,2x+1,2) und Deutung im Sachzusammenhang; Ermittlung der Wendepunkte und der Tangentengleichung t1; Berechnung…
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
b) (1) Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse berechnen. (2) Flächeninhalt des schraffierten Bereichs für das Korsett mittels Integralen bestimmen.

GK · Nachtermin · GTR (2023)

Aufgabe A1 - Teilaufgabe a · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = x³ - 2x². (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.
Aufgabe A1 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = (1/6)x³ - 2x² + 28/3. (1) Nachweisen, dass f bei x = 0 einen lokalen Hochpunkt hat. (2) Begründen, dass die Tangente an der Stelle x = 0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Q(4 |…
Aufgabe A1 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
c) (1) Nachweisen, dass F(x)=(x-1)*e^(2x) eine Stammfunktion von f(x)=(2x-1)*e^(2x) ist. (2) Berechnen des Flächeninhalts der schraffierten Fläche unterhalb der x-Achse zwischen x=0 und x=1/2.
Aufgabe A1 - Teilaufgabe d · Längen, Winkel und Abstände im Raum
d) Gegeben sind u=(4, p, q)^T und v=(-2, 2, 1)^T. (1) Werte für p und q angeben, sodass u und v kollinear sind. (2) Beispiel für p und q angeben, sodass u und v ein Rechteck aufspannen (orthogonal…
Aufgabe A1 - Teilaufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Ebene in Parameterform: (1)(i) Parameter r und s für Punkt A aus Abbildung 2 ablesen; (ii) Bereich für 0 <= r <= 2 und -1 <= s <= 1 einzeichnen; (2) Rechnerisch prüfen, ob P(5|0|2) in der Ebene liegt.
Aufgabe A2 - Teilaufgabe a · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = x^3 - 2x^2. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.
Aufgabe A2 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = 1/6*x^3 - 2x^2 + 28/3. (1) Weisen Sie nach, dass f an x = 0 einen lokalen Hochpunkt hat. (2) Begründen Sie, dass die Tangente an x = 0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Q(4|-12)…
Aufgabe A2 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = (2x - 1)*e^(2x) und F(x) = (x - 1)*e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen x=0 und x=1/2.
Aufgabe A2 - Teilaufgabe d · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Würfelspiel mit 3 Würfen, Einsatz 0,50 €. Für jede 6 erhält man 1 €. X gibt den Auszahlungsbetrag an. (1) Geben Sie P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3 € in der Tabelle an. (2) Zeigen Sie, dass das Spiel…
Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kerne p = 0,1. n = 100. (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Ereignissen A, B, C die passenden Terme (i)…
Aufgabe A3 - Teilaufgabe a · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = x^3 - 2x^2. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.
Aufgabe A3 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = (1/6)x^3 - 2x^2 + 28/3. (1) Weisen Sie nach, dass f bei x=0 einen lokalen Hochpunkt hat. (2) Begründen Sie, dass die Tangente an x=0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Zeigen Sie,…
Aufgabe A3 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben sind f(x) = (2x - 1)e^(2x) und F(x) = (x - 1)e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen x = 0 und x = 1/2…
Aufgabe A3 - Teilaufgabe d · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben sind die Vektoren u = (4, p, q)^T und v = (-2, 2, 1)^T. (1) Geben Sie Werte für p und q an, sodass u und v kollinear sind. (2) Geben Sie ein Beispiel für p und q an, sodass u und v ein…
Aufgabe A3 - Teilaufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
e) Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit p = 0,1, dass eine Mandarine Kerne hat. X gibt die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in n = 100 Mandarinen an. (1) Erwartungswert und…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Funktion f auf Extrem- und Wendepunkte, Nachweis der 1. Ableitung und der Tangentengleichung im Punkt (-1,5|f(-1,5)). Zudem Einzeichnen eines Dreiecks für z=0,75, Begründung der…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a(4): Flächeninhalt zwischen Graph und Tangente sowie den Anteil unterhalb der x-Achse berechnen.
Aufgabe B1 - Funktionen und Transformationen · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe c: Gegeben ist die Funktion h mit h(x) = (x - 1) * x * e^(x - 0,5). (1) Geben Sie an, durch welche Transformation aus dem Graphen von f der Graph von h erzeugt werden kann. (2) Bestimmen…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B2 a) und d): Ableitung g'(x) bestimmen, Extrempunkte H und T berechnen, Abstand von H und T ermitteln, Steigung an der Wendestelle berechnen, Eignung für eine Person mit 172 cm beurteilen…
Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe b: Steckbriefaufgabe zur Bestimmung einer achsensymmetrischen Polynomfunktion vierten Grades h(x) mit y-Achsenabschnitt (0|0,375) und lokalem Tiefpunkt bei (sqrt(10)/2 | 0).
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe B2 Teilaufgabe c: (1) Rechnerische Bestimmung einer Gleichung der Tangente t an g im Punkt P(2,4 | g(2,4)). (2) Ermittlung des Inhalts der schraffierten Fläche unter Angabe der benötigten…
Aufgabe B2 - Funktionen und Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe e: Begründen, warum für die Funktion f(x) = g(k·x) zur Modellierung einer Kinderliege Werte von k < 1 nicht geeignet sind.
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben b(1) und c(1) aus Aufgabe B3: Parametergleichung der Ebene E durch A1, A2, B1 aufstellen; rechnerisch untersuchen, ob B2 in E liegt; rechnerisch nachweisen, dass die Kanten A3B3 und A4B4…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnungen am Pyramidenstumpf und an verdrehten Kanten: Koordinaten von A3, Volumen, Flächeninhalt der Schnittfläche in Höhe 5, Schnittwinkel zwischen zwei Kanten, prozentuale Verkleinerung der…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: Erstellen eines beschrifteten zweistufigen Baumdiagramms zur Gesichtserkennung (Zielperson/Kontrollperson und Einstufung durch Software). Berechnung von P(S) (totale…
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilte Zufallsgrößen: Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten P(X > 40) für n=50, p=0,8; P(μ - 1,5σ <= X <= μ + 1,5σ) für n=100; Bestimmung der Mindestanzahl n für P(X >= 10) >= 0,95 sowie…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe c: Gegeben ist die Entscheidungsregel: Annahme der Herstellerangabe bei mindestens 95 Treffern in n = 100 Videos. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ingenieurin von der…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B5 - Differentialrechnung: Teilaufgaben a und c zur Skoliose-Modellierung mittels f(x) = 0,5 x^2 e^(-1,2x+1,2). Rechnerische Bestimmung der Extrempunkte und Deutung im Sachzusammenhang,…
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b: (1) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse. (2) Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche, für die das besondere Material verwendet wird.

GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabe a · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist $f(x)=x^3-2x^2$. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$-Achse einschließen.
Aufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist $f(x)=\frac{1}{6}x^3-2x^2+\frac{28}{3}$. (1) Weisen Sie nach, dass der Graph an $x=0$ einen lokalen Hochpunkt hat. (2) Begründen Sie, dass die Tangente an $x=0$ durch $P(4/3 | 28/3)$…
Aufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = (2x - 1)e^(2x) und F(x) = (x - 1)e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen x = 0 und x = 1/2.
Aufgabe d · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben sind die Vektoren u = (4, p, q)^T und v = (-2, 2, 1)^T mit p, q in R. (1) Werte für p und q für Kollinearität angeben. (2) Beispiel für p und q angeben, sodass u und v ein Rechteck…
Aufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Ebene in Parameterform. (1)(i) r und s für Punkt A aus Abbildung 2 ablesen. (1)(ii) Parameterbereich 0 <= r <= 2 und -1 <= s <= 1 in Abbildung 2 einzeichnen. (2) Rechnerisch untersuchen, ob Punkt…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe a (1)-(3) und Teilaufgabe b (1)-(3): Untersuchung von Extrempunkten, Wendestellen und Tangente der Funktion f sowie Einzeichnen, Begründen der Flächeninhaltsfunktion und Maximierung der…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a(4): (i) Flächeninhalt A berechnen, der zwischen dem Graphen von f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Prozentualen Anteil der Teilfläche von A bestimmen, die unterhalb der…
Aufgabe B1 - Transformationen und Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe c: Gegeben ist h(x) = (x - 1)·x·e^(x - 0,5). (1) Transformation angeben, die h aus f erzeugt. (2) Koordinaten des weiteren Schnittpunkts T von g und h bestimmen. (3) Eine Transformation…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben a, c(1) und d zu Aufgabe B2: Bestimmung der ersten Ableitung g'(x) und der Extrempunkte H und T, Abstandsberechnung von H und T, Steigung an der Wendestelle sowie Beurteilung der…
Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe b: Bestimmung der Funktionsgleichung vierten Grades h(x) für den unteren Rand der Liege anhand der Symmetrie zur y-Achse, des Schnittpunkts mit der y-Achse (0 | 0,375) und des lokalen…
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe c(2)-c(3): Ermitteln des Inhalts der schraffierten Fläche durch Angabe der benötigten Integrale und Schnittstellen sowie Berechnen der Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.
Aufgabe B2 - Transformationen und Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe e: Transformation f(x) = g(k·x) analysieren und begründen, warum Werte von k < 1 nicht zur Modellierung einer Liegefläche für Kinder geeignet sind.
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Körper · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnungen am Pyramidenstumpf und dem durch Drehung erzeugten Körper: Koordinaten von A3, Volumen des Pyramidenstumpfes, Flächeninhalt der Schnittfläche in Höhe 5, Schnittwinkel zwischen zwei…
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
b) (1) Ebene E durch A₁, A₂ und B₁: (i) Parametergleichung aufstellen; (ii) rechnerisch prüfen, ob B₂ in E liegt. c) (1) Rechnerisch nachweisen, dass die Kanten-Geraden A₃B₃ und A₄B₄ windschief…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: Erstellung eines zweistufigen Baumdiagramms zu Ziel- und Kontrollpersonen sowie Berechnung von P(S) (Software stuft Person als Zielperson ein) und der bedingten Wahrscheinlichkeit…
Aufgabe B4 - Binomialverteilung · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgaben b und d: Berechnungen zur Binomialverteilung (Trefferwahrscheinlichkeit 80 %): P(X > 40) für n = 50, Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit (Fehler 2. Art), dass bei n = 100 mindestens 95 Treffer erzielt werden, wenn die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,86 beträgt.
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe a zu Aufgabe B5 (Skoliose): (1) Zeigen der Ableitung f'(x), rechnerisches Bestimmen von Art und Koordinaten der Extrempunkte und Deutung der y-Koordinate des Hochpunkts im…
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b: Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse berechnen und Inhalt der schraffierten Fläche für das Korsett mittels Integralrechnung bestimmen.
Aufgabe B5 - Graphen deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
Beurteilen Sie ohne weitere Rechnung, ob sich durch das Verwenden der Tangenten in P₁ und P₂ (außerhalb der Wendepunkte W₁ und W₂) statt der Wendetangenten ein größerer oder ein kleinerer Wert für…

GK · Teil A · Analysis (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände

Aufgabe 1 (Analysis 1-1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Die Abbildung zeigt den Graphen der linearen Funktion f. a) Begründen Sie, dass f(x) = 1/2 x + 5 gilt. b) Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs zum Graphen.
Aufgabe 1 (Analysis 1-2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist eine achsensymmetrische Funktion f bezüglich der y-Achse und die Tangente t₁ an f bei x = 1 mit y = (4/3)x + 4. Gesucht sind: a) die Gleichung der Tangente t₂ bei x = -1 samt Begründung,…
Aufgabe 1 a (Analysis 1-3) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie den Wert des Integrals von f(x) = x⁴ - 4x³ im Intervall [0; 1].
Aufgabe 1 b (Analysis 1-3) - Funktionen und ihre… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: "Für die Abbildung wurde eine Längeneinheit auf der x-Achse ebenso groß gewählt wie auf der y-Achse."
Aufgabe 1 a (Analysis 2) - Funktionen und ihre Ei… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Geben Sie die Wertemenge der in ℝ definierten Funktion f mit f(x) = e^(x²) an.
Aufgabe 1 b (Analysis 2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für die erste Ableitungsfunktion f' von f gilt f'(x) = 2x · f(x). Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Graphen von f und f' und berechnen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt.

GK · Teil A · Analytische Geometrie (2023)

Themen der Prüfung: Lineare Gleichungssysteme · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Lineare Gleichungssysteme
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem aus zwei Gleichungen I: 3x - y = 4 und II: -3x - 15y = 12. In Teil a) ist zu begründen, dass das LGS nur die Lösung x = 1, y = -1 hat. In Teil b) wird…
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist die Gerade g und die Gerade h durch A(4|0|0) und B(5|1|b). a) Begründen Sie, dass A nicht auf g liegt. b) Die Geraden g und h haben einen gemeinsamen Punkt. Ermitteln Sie den Wert von b.
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Geben Sie die Bedeutung der Gleichung x = (-13, 9, 4)^T + lambda * (-20, 60, 30)^T mit lambda in [0;1] im Sachzusammenhang an.
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Längen und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Ermitteln Sie die Höhe der Seilbahn über der Talstation, wenn die Seilbahn im beschriebenen Streckenabschnitt 140 Meter vom Anfang dieses Abschnitts entfernt ist.
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Die Ebene durch A(5|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|4) hat die Form 12x + 20y + tz = 60. Bestimmen Sie den Wert von t.
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 - Längen und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Für jeden Wert von k in ]-3;5[ wird die Pyramide OA_k B_k C betrachtet. Bestimmen Sie denjenigen Wert von k, für den die Pyramide das größte Volumen hat.

GK · Teil A · Lineare Algebra (2023)

Themen der Prüfung: Lineare Gleichungssysteme · Matrizen und Übergangsprozesse

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Lineare Gleichungssysteme
Untersuchung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten (I: 3x - y = 4; II: -3x - 15y = 12): a) Begründen, dass das System nur die Lösung x = 1, y = -1 hat. b) Erweiterung um III: -2x + y…
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Gegeben ist die Matrix M. a) Entscheiden und begründen, ob es einen Vektor u gibt mit M*u = (3, 2, 1)^T. b) Untersuchen, für welche reellen Werte von a, b und c (c ≠ 0) die Vektoren v = M*(a, b, c)^T…
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Gegeben ist die Matrix M = ((2, 0), (3, 1)). Bestimmen Sie alle Vektoren (a, b) != (0, 0) mit a, b in R, für die eine reelle Zahl t existiert mit M * (a, b) = t * (a, b).

GK · Teil A · Stochastik (2023)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
a) Bestimmung des fehlenden Wertes x_4 einer Wahrscheinlichkeitsverteilung bei gegebenem Erwartungswert E(X) = 3. b) Nachweis, dass die Standardabweichung der Zufallsgröße Y größer als 1 ist.
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 a · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Geben Sie die Ergebnisse an, die zum Ereignis A ∩ B gehören, wenn Würfel und Münze geworfen werden (A: gerade Zahl und Wappen; B: Zahl größer als 3).
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 b · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Ermitteln Sie die Höhe des Einsatzes, sodass sich bei wiederholter Durchführung die Einsätze und Auszahlungen (6 Euro bei Eintreten von A oder B) auf lange Sicht ausgleichen.
Aufgabengruppe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei einem Spiel mit zwei fairen 4-seitigen Tetraedern zahlt Spieler A an B den Betrag x, wenn B eine mindestens um 2 größere Zahl wirft. Bei gleicher Zahl erfolgt keine Zahlung. In allen anderen…

GK · Teil B · Analysis (CAS) (2023)

Aufgabe MMS 1 - 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Beschreiben Sie, wie der Graph von q' aus dem Graphen von q erzeugt werden kann. Geben Sie die Wertemenge von q' an.
Aufgabe MMS 1 - 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe b: Schnittwinkel des Graphen von q mit der Geraden y = 4 berechnen. Teilaufgabe c: Nachweisen, dass p und q im gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und Tangentengleichung…
Aufgabe MMS 1 - 1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Geometrische Bedeutung der Integralgleichung angeben und den Wert der oberen Integrationsgrenze b bestimmen.
Aufgabe MMS 1 - 2 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Funktionenschar h_a(x) = (x^2 - x - a)*e^(-x). In Teilaufgabe a: Berechnung des Abstands der beiden Extrempunkte des Graphen von h_1. In Teilaufgabe b: Bestimmung der Extremstellen…
Aufgabe MMS 1 - 3 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe a: Geben Sie den Wert des Terms lim_{x->+inf} w(x) sowie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
Aufgabe MMS 1 - 3 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe b: Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. Teilaufgabe d: Interpretieren Sie die Aussage bezüglich der relativen Abweichung…
Aufgabe MMS 1 - 3 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe c: Graphische Bedeutung der mittleren Durchflussrate von 4 m³/s über die ersten 10 Sekunden. Teilaufgabe e: Berechnung der Zeiträume von 3 Sekunden, in denen 13 m³ Wasser vorbeifließen.
Aufgabe MMS 2 - 1 · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Modellierung einer Wasserrutschbahn mittels Geraden, Parabeln, Kreisbögen und Trassierungsbedingungen (Teilaufgaben a bis g).
Aufgabe MMS 2 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Zeigen Sie, dass der Startpunkt der Rutschbahn 12,6 Meter oberhalb der Wasseroberfläche liegt, und ermitteln Sie die horizontale Ausdehnung der Rutschbahn.
Aufgabe MMS 2 - 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Rutschbahnfunktion h(x) = 3/5*cos(x) - 3/5*x + 12. b) Größte Neigung berechnen in Prozent. c) Nachweisen, dass alle Punkte mit waagerechter Tangente denselben Abstand haben.

GK · Teil B · Analysis (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände

Aufgabe 1 (a–d) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1a bis 1d: Nullstellen und Extremstelle von r berechnen, Abstand von r zur Geraden y = 4 beschreiben, Schnittwinkel von s mit y = 4 berechnen und gemeinsame Tangente im gemeinsamen Punkt…
Aufgabe 1e - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von r und s und die Gerade mit der Gleichung x = 2 begrenzen.
Aufgabe 2a - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung 2 das Volumen des Wassers, das vom Zeitpunkt vier Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt sechs Sekunden nach Beobachtungsbeginn an der Messstelle…
Aufgabe 2 (b–c) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
b) Bestimmen Sie die Durchflussrate zum Zeitpunkt stärkster Abnahme. c) Interpretieren Sie die Ungleichung bezüglich der relativen Abweichung der Tangente t(x) von w(x) im Intervall [0,7; 1,4].
Aufgabe 3a - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters a auf den Graphen von w_a.
Aufgabe 3 (b–c) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
b) Bestimmen Sie den Wert von a, für den der Mittelpunkt der Extrempunkte auf der x-Achse liegt. c) Berechnen Sie w_4(3) und geben Sie alle Werte von a an, für die w_a genau eine Nullstelle hat.
Aufgabe 1 (a, e) - Funktionen und ihre Eigenschaf… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe 1a und 1e: Symmetrie zum Wendepunkt (0|0) begründen, Achsenschnittpunkte von G_f ermitteln sowie die Anzahl verschiedener Graphen nach drei geometrischen Transformationen bestimmen und…
Aufgabe 1 (b–c) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1b und 1c: Rechnerischer Nachweis des Tiefpunkts bei x = √12 sowie Bestimmung der Gleichung der Tangente t an G_f im Punkt P(6|f(6)).
Aufgabe 1d - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe 1d: Berechnung des Inhalts der Fläche, die der Graph G_f und die Tangente t zwischen den Schnittstellen x = -12 und x = 6 einschließen.
Aufgabe 2 (a, b, d) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 2a, 2b und 2d: Bestimmung und Bedeutung der Wendestelle von g(x), Formulierung einer Aufgabenstellung und Erläuterung des Lösungswegs zu den Extremwerten von g, sowie Beurteilung der…
Aufgabe 2c - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe 2c: Bestimmung aller angenommenen Tagesdurchschnittstemperaturen der Funktion h(x) = -3*sin(pi/6 * x) + 14 für 0 <= x < 12 sowie Angabe, wie oft jede dieser Temperaturen im Jahresverlauf…

GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2023)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe 1: Längen, Winkel und Abstände bei einem Modell eines Gebäudeanbaus. a) Nachweis des Drachenvierecks BCGF; c) Begründung der Symmetrieebene L; d) Erläuterung des Volumenansatzes; e) Mittlere…
Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Aufgabe 1: Geraden und Ebenen. b) Bestimmung der Parameter r, s, t einer Ebenengleichung für L; g) Deutung des Schnittpunkts der Lichtstrahlgeraden durch H mit der x1x3-Ebene und Anfertigung einer…
Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Prüfung, ob das Dreieck ABC gleichseitig ist, Bestimmung des Punkts G auf AC mit |AG|:|GC| = 1:3, Vergleich des Abstands von B und E mit dem Ebenenabstand, Schnittwinkel von L2 mit der xy-Ebene,…
Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Begründen Sie, dass die beiden gegebenen Ebenen L1 und L2 keine gemeinsamen Punkte besitzen.

GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

Aufgabe 1 (WTR 1) - Längen, Winkel und Abstände i… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a, c, d, e und f zu Längen, Symmetrieebene, Volumen, Geschwindigkeit des Rollos und Einstrahlwinkel des Sonnenlichts beim Modellhaus-Prisma.
Aufgabe 1 (WTR 1) - Geraden und Ebenen: Gleichung… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben b und g: Parameter einer Ebenengleichung durch drei Punkte bestimmen sowie geometrische Bedeutung eines Schnittpunkts mit der x1x3-Ebene beschreiben und den Schattenwurf zeichnen.
Aufgabe 1 (WTR 2) - Längen, Winkel und Abstände i… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Untersuchung eines Körpers ABCDEF: Gleichschenkligkeit von Dreieck ABC und Parallelität der Kante EF zur Grundfläche nachweisen; Schnittwinkel der x3-Achse mit Ebene L berechnen; Spitze S der…
Aufgabe 1 (WTR 2) - Geraden und Ebenen: Gleichung… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe b der Aufgabe 1 (WTR 2): Bestimmen einer Koordinatengleichung der Ebene L, in der die Deckfläche DEF des Körpers liegt.

GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2023)

Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse

Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben ist die Raute EFGH mit E(-6|6|1), F(-10|10|4), H(-2|2|4) und Diagonalenschnittpunkt J(-6|6|4). a) Bestimmen Sie die Seitenlänge der Raute sowie die Koordinaten von G. b) Deuten und begründen…
Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Übergangsprozess zur Verteilung von Handwagen in einem Tierpark mit Matrizenrechnung: a) Übergangsdiagramm erstellen, b) Anzahl der Wagen an Station A an einem Samstagmorgen berechnen, c) Alle…

GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse

Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Geometrische Untersuchung einer Kartonverpackung mit gegebenen Eckpunkten: a) Nachweisen, dass die Deckfläche EFGH rechteckig ist. b) Prüfen, ob die Verpackung mit 250 ml befüllt werden kann (Volumen…
Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Aus vier Rohstoffen werden drei Zwischenprodukte und daraus zwei Getränke M1 und M2 hergestellt. In Teilaufgabe a ist x = 0,26 nachzuweisen und y = 0 zu begründen. In Teilaufgabe b sind die maximal…

GK · Teil B · Stochastik (CAS) (2023)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
1 Ein Hersteller von Röstkaffee präsentiert auf einer Messe Kaffee in fünf unterschiedlichen Röstgraden. a) Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, drei verschiedene Röstgrade in einer…
Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe 2a: Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für den Vertragsabschluss über ein zweistufiges Prüfverfahren. Teilaufgabe 2b: Beurteilung der Auswirkung einer Verkleinerung des…
Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 - Mehrstufige Zufallsexperiment… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe 2c: Beschreibung des Ereignisses M1 ∩ M2-quer im Sachzusammenhang. Teilaufgabe 2d: Nachweis von P(M1-quer ∩ M2) = 3 %. Teilaufgabe 2e: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit P(M2) unter…
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung beim 30-maligen Werfen eines Würfels mit Seiten 2 und 4: Begründung für die Binomialverteilung mit p=1/3, Wahrscheinlichkeit für mehr Vieren als Zweien, Interpretation eines…
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Mehrstufige Zufallsexperiment… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Begründen Sie anhand des Gegenereignisses, dass mit dem Term 1 - (1/3)^3 - (2/3)^3 die Wahrscheinlichkeit für eine Entscheidung spätestens im 3. Wurf berechnet wird, und berechnen Sie die…
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Ein Würfel mit drei Einsen, zwei Dreien und einer Sechs wird 7500-mal geworfen. Bei den ersten 1500 Würfen fällt 735-mal die 1 und 285-mal die 6. a) Bestimmen Sie die relative Häufigkeit der Zahl 3…

GK · Teil B · Stochastik (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe zu Kombinatorik und Ziehen ohne Zurücklegen bei einer Kaffeemesse. a) Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, 3 von 5 Röstgraden mit festgelegter Reihenfolge auszuwählen. b) Wahrscheinlichkeit…
Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe 2a: Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertrag abgeschlossen wird. Teilaufgabe 2b: Beurteilen Sie, ohne zu rechnen, ob es für den Großhändler von Vorteil sein könnte,…
Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 - Mehrstufige Zufallsexperiment… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe 2c: Beschreiben Sie das Ereignis M1 ∩ nicht(M2) im Sachzusammenhang. Teilaufgabe 2d: Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit P(nicht(M1) ∩ M2) = 3 % beträgt. Teilaufgabe 2e:…
Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe 1a bis 1d: Ein Würfel mit den Zahlen 2 (viermal) und 4 (zweimal) wird 30-mal geworfen. X zählt die Anzahl der Vieren. a) Begründen, dass X binomialverteilt mit p=1/3 ist. b)…
Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 - Mehrstufige Zufallsexperiment… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Zwei Personen werfen abwechselnd einen Würfel mit den Zahlen 2 und 4 (P(4)=1/3, P(2)=2/3), bis eine Person eine andere Zahl als die Vorperson wirft; wer die größere Zahl hat, gewinnt. e) Begründen,…
Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Der Würfel aus Abbildung 2 (Seiten mit 1, 3 und 6) wird 7500-mal geworfen. Bei den ersten 1500 Würfen fällt 735-mal die 1 und 285-mal die 6. a) Relative Häufigkeit der Zahl 3 für die ersten 1500…
Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 - Mehrstufige Zufallsexperiment… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
1a) Erstellen einer Vierfeldertafel für Arbeitsort Gymnasium und Geschlecht weiblich. 1b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Lehrkraft weiblich ist oder an einem Gymnasium arbeitet. 1c)…
Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1d) Wahrscheinlichkeit bei 100 zufällig ausgewählten Lehrkräften, dass die Anzahl der nicht an Gymnasien Tätigen mindestens viermal so groß ist wie die an Gymnasien. 1e) Interpretation eines…
Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
In einem Behälter befinden sich 4 weiße und 5 schwarze Kugeln. Einsatz 2 Euro. Zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen; bei weißer Kugel Verdopplung, bei schwarzer Halbierung des Betrags. a) Bedeutung des…

LK · Haupttermin · CAS (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Lineare Gleichungssysteme · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aufgabe A1 - a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind die Funktionen f(x) = 1/2 x^3 - 3x^2 + 3/2 x + 5 und g(x) = -3x + 5. (1) Stellen gemeinsamer Punkte berechnen. (2) Nachweisen, dass der Graph von g die Tangente an den Graphen von f im…
Aufgabe A1 - b(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Wertemenge der Exponentialfunktion f(x) = e^(x^2) mit Definitionsmenge R angeben.
Aufgabe A1 - b(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f'(x) = 2x * f(x). Bestimmen der Steigung des Graphen von f im Schnittpunkt mit der ersten Ableitung f'.
Aufgabe A1 - c · Graphen von f, f′ und F deuten
c) Eine in R definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion f hat bei x_1 eine Nullstelle, bei x_2 gilt f'(x_2)=0 und f''(x_2)≠0, f' hat ein Minimum bei x_3. (1) Begründen, dass der Grad von f…
Aufgabe A1 - d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt (4/3)a^3 hat. (2) Hochpunkt liegt auf einer Seite eines Quadrats an den Achsen. Flächeninhalt…
Aufgabe A1 - e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
e) Gegeben ist Gerade g: x = (0, 1, 1)^T + λ(1, 0, -1)^T. (1) Zeigen Sie, dass g in der Ebene x + y + z = 2 liegt. (2) Schar ha: x = (0, 0, 1)^T + μ(1, a, 0)^T. Nachweisen, dass g und ha für jeden…
Aufgabe A1 - f · Lineare Gleichungssysteme
f) (1) Berechnen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems: I) 2x + z = 0, II) -2y + 4z = 0, III) 2y - 5z = 1. (2) Ermitteln Sie den Wert von r, für den das System mit Gleichung III) 2y - r*z = 1…
Aufgabe A2 - a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = 1/2*x^3 - 3*x^2 + 3/2*x + 5 und g(x) = -3*x + 5. (1) Berechnen Sie die Schnittstellen von f und g. (2) Zeigen Sie, dass g im Punkt P(3|f(3)) Tangente an f ist.
Aufgabe A2 - b(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Betrachtet wird f(x) = e^(x^2). Geben Sie die Wertemenge von f an.
Aufgabe A2 - b(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für f(x) = e^(x^2) gilt f'(x) = 2x * f(x). Die Graphen von f und f' schneiden sich in einem Punkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt.
Aufgabe A2 - c · Graphen von f, f′ und F deuten
c) Eine in R definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion f hat bei x_1 eine Nullstelle, f'(x_2)=0 mit f''(x_2)≠0 und f' hat ein Minimum bei x_3. (1) Begründen Sie, dass der Grad von f mindestens…
Aufgabe A2 - d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
d) Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1 und Nullstellen 0 und 2a. (1) Zeigen Sie, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt 4/3 a^3 hat. (2) Ein Quadrat mit zwei Seiten auf den…
Aufgabe A2 - e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
e) (1) Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Für μ = 60 und σ = 6 berechnen Sie p und n. (2) In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. 150-maliges…
Aufgabe A2 - f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
f) (1) Eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 10 hat P(X ≥ 4) ≈ 0,35. Ermitteln Sie näherungsweise P(X ≤ 2) und P(X = 3). (2) Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die Parameter (n=10, p=0,2),…
Aufgabe A3 - a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = 1/2 x^3 - 3x^2 + 3/2 x + 5 und g(x) = -3x + 5. (1) Stellen gemeinsamer Punkte berechnen. (2) Zeigen, dass g die Tangente an den Graphen von f in P(3|f(3)) ist.
Aufgabe A3 - b(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Betrachtet wird f(x) = e^(x^2). Geben Sie die Wertemenge von f an.
Aufgabe A3 - b(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für f(x) = e^(x^2) gilt f'(x) = 2x * f(x). Die Graphen von f und f' schneiden sich in einem Punkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt.
Aufgabe A3 - c · Graphen von f, f′ und F deuten
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit Nullstelle bei x_1, Extremstelle bei x_2 und Extremstelle von f' bei x_3. (1) Begründen, dass der Grad von f mindestens 3 ist. (2) Einen möglichen…
Aufgabe A3 - d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit Nullstellen bei 0 und 2a. (1) Zeigen, dass die Fläche zwischen Graph und x-Achse 4/3 * a^3 beträgt. (2) Hochpunkt liegt auf einer Seite eines Quadrats an den Achsen;…
Aufgabe A3 - e · Lineare Gleichungssysteme
Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen und Parameter für Unlösbarkeit bestimmen.
Aufgabe A3 - f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Kenngrößen einer Binomialverteilung bestimmen und Wahrscheinlichkeitsterme im Urnenmodell deuten.
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Berechnen der Tangentengleichung im Punkt P(-1|f(-1)), der drei Wendestellen von f und des Flächeninhalts des Dreiecks OP_zQ_z für den Tiefpunkt. Bestimmen zweier Tangentenberührpunkte parallel zu…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b(1)-(3)(ii): Bestimmung der Nullstelle, des Inhalts der unbegrenzten Fläche unter der x-Achse, des Flächenverhältnisses der durch die y-Achse geteilten Teilflächen, Lösung und…
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Gegeben ist die Schar fk(x) = (x^3 + k)*e^x. (1) Bestimmen Sie die zugehörigen Parameter k_I, k_II, k_III für die drei Graphen in Abbildung 4. (2) Begründen Sie, dass jede Funktion fk der Schar genau…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben a(3), a(4), b(1), b(4) und b(5) zu Extremstellen, maximaler Staulänge, Kurvenschar und Tangentenmodellierung.
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben a(2), a(5), a(6) und a(8): Bedeutung von f(2)<0 im Sachzusammenhang; Begründung von s(x) als Bestandsfunktion und Nachweis s(4)=0; Zunahme der Staulänge von 06:30 bis 08:00 Uhr sowie…
Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a(1), a(7) und b(3): Nullstellen der momentanen Änderungsrate f(x) bestimmen und begründen; Zeitpunkt bestimmen, zu dem die Staulänge s(x) 0,5 km geringer ist als eine Stunde zuvor;…
Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe b(2): Parameter a_s und b_s der Funktionenschar l_{a;b} so bestimmen, dass sie mit der Funktion s übereinstimmt.
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben b(1) und d: Nachweis, dass der Punkt (50-a|5|0,75a) für 0 <= a <= 40 auf der Kante A2B2 liegt, Aufstellen einer Koordinatengleichung der Ebene F der Seitenfläche A1A2B2B1 und…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnung der Eckpunktkoordinaten von B_1, Begründung für die Trapezform von A_2A_3B_3B_2 und Berechnung des Körpervolumens K. Bestimmung der Länge der vertikalen Stütze s_1 des Balkons sowie…
Aufgabe B4 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomial- und Normalverteilung zur Qualitätskontrolle von Füllmengen bei Olivenölflaschen anwenden
Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a(1)-(3) und b(1)-(3): Brückenmaße, Achsensymmetrie, Pfeilerhöhe und Positionen der Halteseile untersuchen
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe a(4): Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen, mit denen das rechte und das linke Abspannseil auf den jeweils zugehörigen Pfeiler treffen, zwischen -0,7 und 0,7 liegen.
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Flächeninhalt unter dem Abspannseil mithilfe eines bestimmten Integrals berechnen und Deutung eines Summenterms für die Gesamtlänge der Halteseile im Sachzusammenhang.

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Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Lineare Gleichungssysteme · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = 1/2 x^3 - 3x^2 + 3/2 x + 5 und g(x) = -3x + 5. (1) Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen. (2) Der Punkt P(3 | f(3)) ist einer…
Aufgabe b (1) - Wertemenge · Funktionen und ihre Eigenschaften
Geben Sie die Wertemenge der in ℝ definierten Funktion f mit f(x) = e^(x^2) an.
Aufgabe b (2) - Schnittpunkt und Steigung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für f'(x) = 2x*f(x) schneiden sich die Graphen von f und f' in einem Punkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt.
Aufgabe c · Graphen von f, f′ und F deuten
c) Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion f: Nullstelle bei x1, Extremstelle bei x2, f' hat ein Minimum bei x3. (1) Begründen Sie, dass der Grad von f mindestens 3 ist. (2) Skizzieren Sie einen…
Aufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1 und Nullstellen 0 und 2a. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt (4/3)a^3 hat. (2) Der Hochpunkt liegt auf einer Seite eines Quadrats an den Achsen.…
Aufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist die Gerade g: x = (0, 1, 1)^T + λ*(1, 0, -1)^T. (1) Zeigen Sie, dass g in der Ebene mit der Gleichung x + y + z = 2 liegt. (2) Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden h_a: x = (0, 0,…
Aufgabe f · Lineare Gleichungssysteme
(1) Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems 2x + z = 0, -2y + 4z = 0, 2y - 5z = 1. (2) Ermitteln Sie den Wert von r, für den das Gleichungssystem 2x + z = 0, -2y + 4z = 0, 2y - r*z = 1 keine…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe a: Tangente in P(-1|f(-1)), Wendestellen von f, Flächeninhalt des Dreiecks OP_zQ_z mit Tiefpunkt. Teilaufgabe c: Parameter der Schar f_k bestimmen, Begründung der Nullstelleneigenschaft,…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b) (1) bis (3)(ii): Uneigentliches Integral über (-unendlich, x_0] bestimmen, Flächenverhältnis an der y-Achse berechnen, Nullstelle der Integralfunktion von 0 bis z bestimmen und…
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
c) (1) Parameter k_I, k_II, k_III aus den Graphen ablesen. (2) Begründen, dass jede Funktion f_k der Schar genau eine Nullstelle hat.
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der momentanen Änderungsrate der Staulänge f(x), Begründung von Nullstellen und Abnahme, Bestimmung maximaler Zunahme und maximaler Staulänge, Untersuchung der Funktionenschar l_{a;b}(x)…
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe B2 (Integralrechnung und Bestandsänderungen): (5) Begründen, dass s(x) die Staulänge für 06:00 bis 10:00 Uhr angibt, und rechnerisch bestätigen, dass um 10:00 Uhr s(4)=0 gilt. (6) Zunahme der…
Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Gegeben ist die Funktionenschar l_{a;b}(x) = 16*(a/b)*x^2*(1 - x/b)^3. In (2) sollen die Parameter a_s und b_s bestimmt werden, sodass l_{a_s;b_s} mit der Funktion s aus Aufgabenteil a)…
Aufgabe B3 - Längen, Figuren und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe B3 (Teilaufgaben a und c): Koordinaten des Punktes B_1 angeben, Begründung der Trapezform von A_2A_3B_3B_2 und Volumen des Körpers K berechnen. Koordinaten des Punktes P im gleichseitigen…
Aufgabe B3 - Geraden, Ebenen und Schattenwurf · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Untersuchung von Geraden, Ebenen und Schattenwurf am Modell des Hotelkomplexes: Nachweis eines Punkts auf einer Strecke, Berechnung der Stützenlänge s_1, Aufstellen der Ebenengleichung in…
Aufgabe B4 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilte Qualitätsprüfung von Flaschen und Kartons sowie Modellierung über die Normalverteilung.
Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Trag- und Abspannseile einer Hängebrücke: Untersuchen von Symmetrie, Seillängen, Steigungen, Flächeninhalten und Halteseilpositionen.
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen, mit denen das rechte und das linke Abspannseil auf den jeweils zugehörigen Pfeiler treffen, zwischen -0,7 und 0,7 liegen.
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität.

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Aufgabe A1 - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x)=1/2 x^3 - 3x^2 + 3/2 x + 5 und g(x)=-3x+5. (1) Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen. (2) Zeigen Sie: Der Graph von g ist die…
Aufgabe A1 - Teilaufgabe b(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Gegeben ist f(x) = e^(x^2). Geben Sie die Wertemenge von f an.
Aufgabe A1 - Teilaufgabe b(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für f(x)=e^(x^2) gilt f'(x)=2x*f(x). Die Graphen von f und f' schneiden sich in einem Punkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt.
Aufgabe A1 - Teilaufgabe c · Graphen von f, f′ und F deuten
Teilaufgabe c: Eine ganzrationale, nicht lineare Funktion f hat eine Nullstelle bei x1, ein lokales Extremum bei x2 (f'(x2)=0, f''(x2)≠0) und f' hat ein Minimum bei x3. (1) Begründen, dass der Grad…
Aufgabe A1 - Teilaufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe d: f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt (4/3)a^3 hat. (2) Der Hochpunkt von f liegt auf der Seite eines achsenparallelen Quadrats an…
Aufgabe A1 - Teilaufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
e) Gegeben ist die Gerade g: x = (0, 1, 1)^T + λ*(1, 0, -1)^T. (1) Zeigen Sie, dass g in der Ebene x + y + z = 2 liegt. (2) Schar ha: x = (0, 0, 1)^T + μ*(1, a, 0)^T. Weisen Sie nach, dass g und ha…
Aufgabe A1 - Teilaufgabe f · Lineare Gleichungssysteme
f) (1) Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems: 2x + z = 0, -2y + 4z = 0, 2y - 5z = 1. (2) Ermitteln Sie den Wert von r, für den das System mit Gleichung III: 2y - r*z = 1 keine Lösung besitzt.
Aufgabe A2 - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = 1/2*x^3 - 3*x^2 + 3/2*x + 5 und g(x) = -3*x + 5. (1) Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen. (2) Zeigen Sie, dass der Graph von g…
Aufgabe A2 - Teilaufgabe b(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Betrachtet wird f(x) = e^(x^2). Geben Sie die Wertemenge von f an.
Aufgabe A2 - Teilaufgabe b(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für f(x)=e^(x^2) gilt f'(x)=2x*f(x). Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f im Schnittpunkt von f und f'.
Aufgabe A2 - Teilaufgabe c · Graphen von f, f′ und F deuten
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit Nullstelle bei x1, Extremstelle bei x2 und Wendestelle bei x3 (Minimum von f'). (1) Begründen Sie, dass der Grad von f mindestens 3 ist. (2) Skizzieren…
Aufgabe A2 - Teilaufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = -x² + 2ax mit a > 1 und Nullstellen bei 0 und 2a. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt 4/3 a³ hat. (2) Der Hochpunkt von f liegt auf der oberen Kante eines…
Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe e: (1) Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ=60 und Standardabweichung σ=6 sind p und n zu berechnen. (2) Aus einer Urne mit 4 schwarzen und 6 weißen Kugeln wird…
Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
f) (1) Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n=10. Ermitteln Sie näherungsweise P(X ≤ 2) und P(X = 3) aus dem unvollständigen Histogramm mit P(X ≥ 4) ≈ 0,35. (2) Ordnen Sie den Histogrammen I…
Aufgabe A3 - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = 1/2 x^3 - 3x^2 + 3/2 x + 5 und g(x) = -3x + 5. (1) Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen. (2) Der Punkt P(3|f(3)) ist einer dieser…
Aufgabe A3 - Teilaufgabe b(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Betrachtet wird f(x) = e^(x^2). Geben Sie die Wertemenge von f an.
Aufgabe A3 - Teilaufgabe b(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für f'(x) gilt f'(x) = 2x * f(x). Die Graphen von f und f' schneiden sich in einem Punkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt.
Aufgabe A3 - Teilaufgabe c · Graphen von f, f′ und F deuten
Teilaufgabe c: Grad einer ganzrationalen Funktion anhand von Ableitungseigenschaften begründen und Graphen skizzieren.
Aufgabe A3 - Teilaufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe d: Flächeninhalt unter einer Parabel berechnen und Parameter a über ein flächengleiches Quadrat ermitteln.
Aufgabe A3 - Teilaufgabe e · Lineare Gleichungssysteme
Teilaufgabe e: Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten lösen und den Parameter r bestimmen, für den das modifizierte Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
Aufgabe A3 - Teilaufgabe f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe f: (1) Aus Erwartungswert mu=60 und Standardabweichung sigma=6 die Parameter p und n bestimmen. (2) Bei 150 Ziehungen mit Zurücklegen (4 schwarze, 6 weiße Kugeln) Wahrscheinlichkeitsterm…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung von f und der Funktionenschar f_k: Zeigen der 2. Ableitung, Bestimmung der Wendestellen und des Dreiecksflächeninhalts für den Tiefpunkt sowie Bestimmung von Parametern, Nullstellen und…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b: (1) Ableitung F'(x) bestimmen und lineares Gleichungssystem für Koeffizienten a, b, c, d ermitteln. (2) Inhalt der Fläche im 4. Quadranten berechnen. (3) Lösung z ≈ 2,271 der…
Aufgabe B2 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Untersuchung der Staulänge mithilfe der Änderungsrate f(x) und der Bestandsfunktion s(x): Nullstellen, Bedeutung von f(2)<0, Zeitpunkt maximaler Staulänge, Bestandsfunktion s(x) nachweisen, Zunahme…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B2 (Differentialrechnung): Bestimmung des Zeitpunkts der stärksten Zunahme der Staulänge und der zugehörigen Änderungsrate; Untersuchung der Funktionenschar l_{a;b} (Extremstellen,…
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe b(1) und d zur Geraden- und Ebenengeometrie eines Hotelgebäudes: Punktlage auf der Strecke A2B2, Aufstellen der Ebenengleichung für die schräge Seitenfläche A1A2B2B1 in Koordinatenform…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe B3 (LK NRW 2023): Koordinaten von B1 angeben, Trapezform von A2A3B3B2 begründen und Volumen des Körpers K berechnen, Länge der vertikalen Stütze s1 berechnen, Koordinaten des Punktes P des…
Aufgabe B4 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe B4: Füllmengenprüfung bei Olivenöl mit Binomialverteilung (Kartons und Lieferungen) und Normalverteilung (Dichtefunktionen und Modellierung).
Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aufgabe B5: Analysisaufgabe zur Modellierung einer Hängebrücke (Abspannseile r(x), l(x) und Tragseil s(x)) mit Funktionswerten, Ableitung, Flächeninhalt, Achsensymmetrie, Gleichungsansatz und…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen, mit denen das rechte und das linke Abspannseil auf den jeweils zugehörigen Pfeiler treffen, zwischen -0,7 und 0,7 liegen.
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität.

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Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben sind f(x) = 1/2 x^3 - 3x^2 + 3/2 x + 5 und g(x) = -3x + 5. (1) Berechnen Sie die Schnittstellen von f und g. (2) Zeigen Sie, dass der Graph von g die Tangente an f im Punkt P(3|f(3)) ist.
Aufgabe b (1) - Wertemenge · Funktionen und ihre Eigenschaften
Wertemenge der Funktion f(x) = e^(x^2) bestimmen.
Aufgabe b (2) - Steigung im Schnittpunkt · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Steigung des Graphen von f im Schnittpunkt von f und f' bestimmen.
Aufgabe c · Graphen von f, f′ und F deuten
Eine ganzrationale Funktion f hat bei x1 eine Nullstelle, bei x2 ein Extremum (f'(x2)=0, f''(x2)≠0) und f' hat bei x3 ein Minimum. Begründen Sie, dass der Grad von f mindestens 3 ist, und skizzieren…
Aufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Für f(x) = -x² + 2ax: (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt 4/3 a³ hat. (2) Den Parameter a bestimmen, sodass der Flächeninhalt eines an den Achsen anliegenden Quadrats mit dem…
Aufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist die Gerade g: x = (0, 1, 1) + λ(1, 0, -1). (1) Zeigen Sie, dass g in der Ebene x + y + z = 2 liegt. (2) Gegeben ist die Schar ha: x = (0, 0, 1) + μ(1, a, 0). Weisen Sie nach, dass g und…
Aufgabe f · Lineare Gleichungssysteme
(1) Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems: 2x + z = 0 -2y + 4z = 0 2y - 5z = 1 (2) Ermitteln Sie den Wert von r, für den das Gleichungssystem keine Lösung besitzt (III: 2y - r*z = 1).
Aufgabe B1 - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe a: (1) Rechnerischen Nachweis von f''(x) = (x³ + 6x² + 6x - 5)·e^x führen. (2) Die drei Wendestellen der Funktion f berechnen (auf 3 Nachkommastellen gerundet). (3) Den Flächeninhalt des…
Aufgabe B1 - Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b: (1) Ableitung F'(x) bilden und Koeffizientenvergleich für LGS aufstellen. (2) Nullstelle und Inhalt der Fläche im 4. Quadranten berechnen. (3) Geometrische Interpretation von int_0^z…
Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (1)-(2) · Funktionen und ihre Eigenschaften
c) (1) Parameter k_I, k_II, k_III für die Graphen G_I, G_II, G_III angeben. (2) Begründen, dass jede Funktion f_k genau eine Nullstelle hat.
Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (3) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion f_k vom Parameter k zu betrachten, wird h_k(x) = x^3 + 3x^2 + k untersucht. (i) Anzahl der Nullstellen von h_k in Abhängigkeit von k…
Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (1)-(4) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der momentanen Änderungsrate f(x) der Staulänge: (1) Zeitpunkte mit Änderungsrate null nennen und anhand der Struktur begründen. (2) Bedeutung von f(2) < 0 im Sachzusammenhang. (3)…
Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (5)-(8) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe B2 Teilaufgabe a (5)-(8): Begründung von s(x) als Bestandsfunktion und Auflösung um 10:00 Uhr; Zunahme und mittlere Änderungsrate der Staulänge von 06:30 bis 08:00 Uhr berechnen; Zeitpunkt…
Aufgabe B2 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Funktionenschar l_{a;b}(x) = 16*(a/b)*x^2*(1 - x/b)^3 zur Modellierung von Staulängen analysieren: Extremstellen und deren Art in Abhängigkeit von b bestimmen; Zeitpunkt berechnen, zu dem die…
Aufgabe B3 - Teilaufgabe a · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgabe a: (1) Koordinaten des Punktes B_1 angeben. (2) Begründen, dass die Seitenfläche A_2A_3B_3B_2 ein Trapez ist, und das Volumen des Körpers K berechnen.
Aufgabe B3 - Teilaufgabe b · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
b) Durch $E_a$ ist eine Schar paralleler Ebenen gegeben. (1) Zeigen Sie, dass für jeden Wert $0 \le a \le 40$ der Punkt $(50-a|5|0{,}75\cdot a)$ auf der Strecke $A_2B_2$ liegt. (2) Berechnen Sie die…
Aufgabe B3 - Teilaufgabe c · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Der Innenhof $A_4A_3P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks. (1) Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$. (2) Berechnen Sie den Abstand von $A_4$ zum Koordinatenursprung…
Aufgabe B3 - Teilaufgabe d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
d) (1) Koordinatengleichung der Ebene F aufstellen, in der die Fläche A_1A_2B_2B_1 liegt. (2) Mastspitze S(0|0|35), Sonnenstrahlen in Richtung r = (6, 0, -2)^T. Prüfen, ob der Schatten der Mastspitze…
Aufgabe B4 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung im Kontext der Olivenölabfüllung (600 ml Füllmenge): a) Binomialverteilte Größen: (1) Bedeutung von 0,985^12 erklären, (2) P(Y=3) bei n=100 Flaschen, (3) Erste Flasche mit…
Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (1)-(3) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Hängebrücke: Nullstelle von r(x) und Gesamtlänge der Fahrbahn berechnen; Funktionsterm l(x) und Definitionsintervall für den linken Abschnitt durch Achsensymmetrie angeben; Pfeilerhöhe über der…
Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (4) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Rechnerische Untersuchung der Steigungen des rechten und linken Abspannseils an den Pfeilern mittels Ableitungsfunktion (Überprüfung des Intervalls [-0,7; 0,7]).
Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (5) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Flächeninhalt zwischen dem rechten Pfeiler, dem Abspannseil und der Fahrbahn durch ein bestimmtes Integral ermitteln und in die Realität umrechnen.
Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Funktionen und ihre Eigenschaften
Tragseilfunktion s(x) im mittleren Brückenabschnitt: (1) Begründung der Achsensymmetrie anhand gerader Exponenten, (2) Rechnerischer Nachweis für x = ±7,2 bei Seillänge 643061/64000 m und Angabe der…

LK · Nachtermin · CAS (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = 1/6 x^3 - 2x^2 + 28/3. (1) Nachweisen, dass bei x = 0 ein lokaler Hochpunkt vorliegt. (2) Begründen, dass die Tangente an x = 0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Zeigen, dass die…
Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = -x^2*(x - k) mit k > 0. (1) Nullstellen in Abhängigkeit von k angeben. (2) Wert von k bestimmen, für den der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 4/3 FE beträgt.
Teilaufgabe c(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = (x^2 + 4x - 5)e^x.
Teilaufgabe c(2) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie F'(x) für F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x und ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich mit f(x) eine Stammfunktion F(x).
Teilaufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe d: (1) Rechnerischer Nachweis der Schnittstelle x = 1/3, (2) Nachweis der Stammfunktion D(x) für d(x) = g(x) - f(x), (3) Berechnung des Inhalts der Fläche zwischen den Graphen von x = 0…
Teilaufgabe e (Geometrie) · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben sind die Vektoren u = (0, p, q) und v = (-2, 2, 1). (1) Ein Wertepaar (p, q) angeben, sodass die Vektoren ein Rechteck aufspannen. (2) Alle Wertepaare (p, q) ermitteln, für die das Rechteck…
Teilaufgabe f (Geometrie) · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Ebene E in Parameterform mit Vektoren u, v, w und skizzierter Teilfläche. (1) (i) Parametergrenzen a, b, c, d für das schraffierte Parallelogramm bestimmen. (ii) Strecke für r >= 0, s >= 0, r + s = 1…
Teilaufgabe e (Stochastik) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kerne 10 %. X ist die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in einer Kiste mit 100 Mandarinen. (1) Erwartungswert und Standardabweichung…
Teilaufgabe f (Stochastik) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe f (Stochastik): Würfelspiel mit 3 Würfen, bei dem jede gewürfelte 6 eine Auszahlung von 1 € bringt. Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k) bestimmen und den Mindesteinsatz für langfristigen…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B1 (Differentialrechnung): Bestimmung von lokalen Extrempunkten und Wendepunkten der Funktion f(x), rechnerischer Nachweis der Tangentengleichung sowie Untersuchung der Funktionenschar g_a(x)…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Flächeninhalte und -verhältnisse: (a)(4)(i) Bestimmung des Flächeninhalts A zwischen dem Graphen von f und der Tangente t. (a)(4)(ii) Prozentualer Anteil der Teilfläche von A unterhalb der x-Achse.…
Aufgabe B1 - Transformationen · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aufgabe c: (1) Transformation angeben, mit der h aus f erzeugt werden kann. (2) Koordinaten des weiteren Schnittpunkts T von g_1 und h bestimmen. (3) Eine geeignete Transformation beschreiben, sodass…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Analysis-Aufgabe (Leistungskurs): Untersuchung einer Holzliege mit den Funktionen g(x) und h(x) sowie der Schar g_k(x). Bestimmung von Extrempunkten, Abstand, Wendestelle, Tangente, Integralfläche,…
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
b) (2) Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche unter Angabe der benötigten Integrale (Kontrollwert ~1,25 FE). (3) Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Aufgabe b (Ebenengleichung von E in Koordinatenform, Punktprobe für B₂, Schnittwinkel von A₁B₁ mit der Grundfläche) und Teil c(1) (Nachweis, dass die Geraden A₃B₃ und A₄B₄ windschief sind).
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe B3 (CAS): Analytische Geometrie an einem Pyramidenstumpf und einem gedrehten Körper. Berechnet werden Eckpunktkoordinaten, Volumen, Schnittflächen, Ebenengleichung in Koordinatenform,…
Aufgabe B3 - Extremwertaufgabe · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Ermitteln Sie die Höhe h, in der der Flächeninhalt des Quadrates H_1 H_2 H_3 H_4 mit F(h) = 4/5 h^2 - 64/5 h + 64 minimal ist.
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Erstellen eines zweistufigen Baumdiagramms zur Gesichtserkennung (Zielperson vs. Kontrollperson und Einstufung durch die Software) sowie Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Person als…
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe B4 Teilaufgaben b und c: Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße mit n = 50 und n = 100 (Abweichung um höchstens 1,5 Standardabweichungen), Ermittlung der…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe d: (1) Begründete Entscheidung zwischen H_0: p < 0,9 und H_0: p >= 0,9 unter Berücksichtigung des Fehlers 1. Art. (2) Bestimmung einer Entscheidungsregel für den Hypothesentest mit n =…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Hochpunkt, Wendetangenten, Cobb-Winkel und Schar h_k(x) bei einer Skoliose-Modellierung untersuchen.
Aufgabe B5 - Symmetrie · Funktionen und ihre Eigenschaften
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse ist für f(x) = 0,8e^(-x^2).
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche, für die das besondere Material des Korsetts verwendet wird (unterteilt durch die Wendepunkte W1 und W2 sowie die Tangentenabschnitte bis zur…

LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist f(x) = 1/6 x^3 - 2x^2 + 28/3. (1) Nachweisen, dass bei x = 0 ein lokaler Hochpunkt vorliegt. (2) Begründen, dass die Tangente an x = 0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Zeigen, dass die…
Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = -x^2 * (x - k) mit k > 0. (1) Nullstellen von f in Abhängigkeit von k angeben. (2) Den Wert von k bestimmen, für den der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 4/3 FE beträgt.
Aufgabe c(1) - Nullstellen · Funktionen und ihre Eigenschaften
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f(x) = (x^2 + 4x - 5) * e^x für x aus IR.
Aufgabe c(2) - Stammfunktion · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie F'(x) für F(x) = (a*x^2 + b*x + c)*e^x und ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich mit f(x) eine Stammfunktion F(x).
Aufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe d: (1) Rechnerischer Nachweis, dass x = 1/3 die einzige Schnittstelle von f und g ist. (2) Nachweis, dass D eine Stammfunktion von d(x) = g(x) - f(x) ist. (3) Berechnung des Inhalts der…
Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben sind die Vektoren u = (0, p, q)^T und v = (-2, 2, 1)^T mit p, q in R. (1) Geben Sie ein Beispiel für p und q an, sodass u und v ein Rechteck aufspannen. (2) Ermitteln Sie alle möglichen Werte…
Aufgabe f · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist die Ebene E in Parameterform und eine Abbildung. (1)(i) Bestimmen Sie die ganzzahligen Werte a, b, c und d für das dargestellte Parallelogramm. (1)(ii) Zeichnen Sie die Punkte mit r >= 0,…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Funktion f(x) = (x+0,5)(x-0,5)e^x und der Funktionenschar g_a(x) = (x+a)(x-a)e^x bezüglich Extrem- und Wendepunkten, Tangenten sowie Dreiecksflächeninhalt (Extremwertaufgabe).
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a(4): Flächeninhalt A zwischen f(x) und der Tangente t sowie prozentualer Anteil der Teilfläche unterhalb der x-Achse. Teilaufgabe b(2): Untersuchung, ob es einen Parameter a > 0 gibt,…
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Aufgabe B1 c): Gegeben ist die Funktion h(x) = (x-1)*x*e^(x-0,5). (1) Geben Sie an, durch welche Transformation aus f(x) der Graph von h hervorgeht. (2) Bestimmen Sie die Koordinaten des zweiten…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Modellierung einer Liege mittels Differentialrechnung (Kurvendiskussion von g, Abstand von Hoch- und Tiefpunkt, Steigung an der Wendestelle, maximale vertikale Entfernung zwischen…
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe B2 Teilaufgabe b: Bestimmung der Tangentengleichung im Punkt P(2,4|g(2,4)), Ermittlung der Schnittstellen und Angabe der Integrale zur Berechnung der Querschnittsfläche der optimierten Liege…
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Aufgabe B3, Teilaufgaben b(1) und c(1): Aufstellen einer Koordinatengleichung der Ebene E durch A1, A2 und B1; rechnerische Untersuchung, ob B2 in E liegt; rechnerischer Nachweis, dass die Geraden…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnung von Kenngrößen am Pyramidenstumpf (Volumen, Schnittfläche) und an einem durch Drehung entstandenen Körper (Schnittwinkel, windschiefe Geraden, Abstand und Extremwertproblem).
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und b… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: Erstellung eines zweistufigen Baumdiagramms zur Gesichtserkennung (Trefferwahrscheinlichkeit 80 %, Falsch-Positiv 0,1 %, Anteil Zielpersonen 10 %). Berechnung der totalen…
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe B4 (b, c, e): Binomialverteilte Zufallsgrößen bei Gesichtserkennung (Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8). Berechnen von P(X > 40) für n = 50, P(|X - μ| ≤ 1,5σ) für n = 100, Ermitteln des…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Hypothesente… · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe d: (1) Begründete Wahl der Nullhypothese H_0: p < 0,9 oder H_0: p >= 0,9 zur Begrenzung des Fehlers 1. Art. (2) Bestimmung der Entscheidungsregel für einen linksseitigen Hypothesentest…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Modellierungsfunktion f(x) = 0,8·e^(-x^2) und der Schar h_k(x) = 0,8·e^(-k·x^2) bezüglich Hochpunkt, Symmetrie, Wendetangenten, Cobb-Winkel und maximaler Steigung.
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und den beiden Wendetangenten t_1 und t_2 für die Anfertigung des Korsetts.

LK · Nachtermin · GTR (2023)

Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist die Funktion f(x) = 1/6 x^3 - 2x^2 + 28/3. (1) Nachweisen, dass f an x = 0 einen lokalen Hochpunkt hat. (2) Begründen, dass die Tangente an x = 0 durch P(4/3 | 28/3) verläuft. (3) Zeigen,…
Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist die Funktion f(x) = -x²·(x-k) mit k > 0. (1) Geben Sie die Nullstellen von f in Abhängigkeit von k an. (2) Bestimmen Sie den Wert von k, für den der Flächeninhalt zwischen Graph und…
Aufgabe c(1) - Nullstellen · Funktionen und ihre Eigenschaften
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x^2 + 4x - 5)e^x. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f.
Aufgabe c(2) - Stammfunktion · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x. Berechnen Sie F'(x) und ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich mit f(x) = (x^2 + 4x - 5)e^x eine Stammfunktion F(x).
Aufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben f(x) = (2x - 1)e^(2x) und g(x) = -x e^(2x). (1) Nachweisen, dass x = 1/3 die einzige Schnittstelle ist. (2) Nachweisen, dass D(x) = (-3/2 x + 5/4)e^(2x) Stammfunktion von d(x) = g(x) - f(x)…
Aufgabe e (Geometrie) · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben sind die Vektoren u = (0, p, q)^T und v = (-2, 2, 1)^T mit p, q in R. (1) Geben Sie ein Beispiel für p und q an, sodass u und v ein Rechteck aufspannen. (2) Ermitteln Sie alle möglichen Werte…
Aufgabe f (Geometrie) · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist die Ebene E in Parameterform sowie ein Parallelogramm in Abbildung 2. (1)(i) Parametergrenzen a, b, c, d des Parallelogramms angeben. (ii) Strecke für r, s >= 0 mit r + s = 1 in Abbildung…
Aufgabe e (Stochastik) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei einer neuen Mandarinensorte beträgt die Wahrscheinlichkeit nur 10 %, dass eine zufällig ausgewählte Mandarine Kerne hat. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in einer…
Aufgabe f (Stochastik) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Würfelspiel mit 3 Würfen, bei dem jede gewürfelte 6 einen Auszahlungsbetrag von 1 € einbringt. (1) Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für k in {0 €, 1 €, 2 €, 3 €} in die Tabelle eintragen. (2)…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Funktion f(x) = (x+0,5)(x-0,5)e^x: Bestimmung der lokalen Extrempunkte, rechnerische Untersuchung auf Wendestellen, Nachweis der ersten Ableitung und der Tangentengleichung im Punkt…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a(4): (i) Flächeninhalt A bestimmen, der zwischen dem Graphen von f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Prozentualen Anteil des unterhalb der x-Achse liegenden Teils der Fläche A…
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe c: Geometrische Transformationen von Graphen von Exponentialfunktionen und Schnittpunktberechnung. (1) Transformation angeben, durch die der Graph von h aus dem Graphen von f erzeugt…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Modellierung einer Holzliege: Hoch- und Tiefpunkt sowie Wendetangentensteigung von g(x), Überprüfung der ergonomischen Bedingungen, Bestimmung der Tangentengleichung t im Punkt…
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
b) (2) Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung 3) unter Angabe der benötigten Integrale. (3) Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe b(1): Koordinatengleichung der Ebene E durch A1, A2, B1 aufstellen und Lage von B2 bezüglich E rechnerisch untersuchen. Teilaufgabe c(1): Rechnerisch nachweisen, dass die Geraden A3B3 und…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a(1)-(3), b(2), c(2)(i)-(ii) und d(2)-(4) zur Vektorgeometrie des Pyramidenstumpfes bzw. des gedrehten Körpers: Bestimmung von Koordinaten, Volumen, Schnittflächeninhalt, Schnittwinkel,…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: Erstellen eines zweistufigen beschrifteten Baumdiagramms zum Sachkontext sowie Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit P(S) und der bedingten Wahrscheinlichkeit P_S(Z quer).
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgaben b, c und e: Binomial- und Normalverteilung bei Gesichtserkennungssoftware. Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten P(X > 40) und der Abweichung um höchstens 1,5 Sigma, Bestimmung des…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe d: (1) Begründete Entscheidung, ob die Nullhypothese H_0: p < 0,9 oder H_0: p >= 0,9 gewählt werden sollte. (2) Bestimmung einer Entscheidungsregel für einen einseitigen Hypothesentest…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Analysisaufgabe zur Modellierung einer Wirbelsäule bei Skoliose: Bestimmung von Ableitungen, Extrem- und Wendepunkten, Wendetangenten, Symmetrienachweis, Berechnung des Cobb-Winkels mit Beurteilung…
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b: Flächeninhalt der schraffierten Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) = 0,8·e^(-x²) und den Tangenten t1 und t2 sowie der x-Achse berechnen.

LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabe a) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1/6 * x^3 - 2x^2 + 28/3. (1) Nachweisen, dass f an x = 0 einen lokalen Hochpunkt hat. (2) Begründen, dass die Tangente an f an x = 0 durch P(4/3 | 28/3)…
Aufgabe b) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -x^2 * (x - k) mit k > 0. (1) Nullstellen von f in Abhängigkeit von k angeben. (2) Wert von k bestimmen, für den die vom Graphen von f und der x-Achse…
Aufgabe c) (1) - Nullstellen · Funktionen und ihre Eigenschaften
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = (x^2 + 4x - 5)·e^x.
Aufgabe c) (2) - Stammfunktion · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe c)(2): Für F(x) = (a·x^2 + b·x + c)·e^x soll durch Ableiten unter Produktregel und Koeffizientenvergleich mit f(x) = (x^2 + 4·x - 5)·e^x die Parameter a, b, c und die Stammfunktion F(x)…
Aufgabe d) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
d) Gegeben sind f(x) = (2x - 1)e^(2x) und g(x) = -x e^(2x). (1) Weisen Sie rechnerisch nach, dass x = 1/3 die einzige Schnittstelle ist. (2) Weisen Sie nach, dass D(x) = (-3/2 x + 5/4)e^(2x) eine…
Aufgabe e) · Längen, Winkel und Abstände im Raum
e) Gegeben sind die Vektoren u = (0, p, q) und v = (-2, 2, 1) mit p, q ∈ ℝ. (1) Geben Sie ein Beispiel für Werte von p und q an, sodass u und v ein Rechteck aufspannen. (2) Ermitteln Sie alle…
Aufgabe f) · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
f) Gegeben ist die Ebene E: x = u + r*v + s*w. In Abbildung 2 ist ein Ausschnitt dargestellt. (1)(i) Bestimmen der ganzzahligen Werte a, b, c, d für das Parallelogramm mit a <= r <= b, c <= s <= d.…
Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe B1 (Differentialrechnung): Kurvendiskussion von f(x)=(x+0,5)(x-0,5)e^x mit Extrempunkten, Wendestellen, Tangente und Flächeninhalten; Funktionenschar g_a(x) mit Ortskurve der Tiefpunkte und…
Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe a)(4): (i) Bestimmung des Flächeninhalts A zwischen dem Graphen von f und der Tangente t. (ii) Bestimmung des prozentualen Anteils der Teilfläche von A unterhalb der x-Achse am…
Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe c): (1) Transformation angeben, durch die der Graph von h(x) aus f(x) hervorgeht. (2) Weiteren Schnittpunkt T der Graphen von g_1 und h bestimmen. (3) Eine geeignete Transformation von f…
Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Kurvendiskussion, Tangentengleichung sowie Scharuntersuchung zur Modellierung einer Holzliege (Teilaufgaben a, b(1) und c).
Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe b)(2)-(3): Inhalt der schraffierten Fläche zwischen Randfunktionen g(x), h(x) und Tangente t bestimmen sowie Masse eines Seitenteils der Liege berechnen.
Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben b)(1), c)(1) und d)(1): Ebenengleichung von E in Koordinatenform ermitteln und Punktprobe für B2 durchführen; rechnerisch nachweisen, dass A3B3 und A4B4 windschief zueinander sind;…
Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnungen zu Pyramidenstumpf und gedrehtem Körper: a) Koordinaten von A_3, Volumen und Schnittfläche in Höhe 5; b)(2) Schnittwinkel zwischen Kante A_1B_1 und der Grundfläche; c)(2) Bestimmung von…
Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a): (1) Zweistufiges beschriftetes Baumdiagramm zur Gesichtserkennungssoftware erstellen. (2)(i) Wahrscheinlichkeit P(S) berechnen, dass eine Person als Zielperson eingestuft wird.…
Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgaben b), c) und e): Binomialverteilung (Trefferanzahl bei Gesichtserkennung mit n = 50, n = 100), Bestimmung der Mindestanzahl an Videos n, Begründung der Integrationsgrenzen bei der…
Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe d): Einseitiger Signifikanztest mit n = 200, p = 0,9 und Signifikanzniveau alpha = 10 %. (1) Begründete Wahl der Nullhypothese H_0: p >= 0,9 zur Begrenzung des Fehlers 1. Art. (2)…
Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Krümmung der Wirbelsäule bei Skoliose: Extrempunkte, Wendetangenten, Cobb-Winkel sowie Scharuntersuchung mit h_k(x) = 0,8·e^(-k·x^2) und Vergleich mit Tangenten an äußeren Kanten.
Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen dem Graphen von f, den beiden Wendetangenten t1, t2 und der x-Achse, für die das besondere Material des Skoliose-Korsetts verwendet wird.

LK · Teil A · Analysis (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Integralrechnung: Flächen und Bestände

Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 1 · Graphen von f, f′ und F deuten
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit Nullstelle bei x1, Extremstelle bei x2 und f' mit Minimum bei x3. a) Begründen Sie, dass der Grad von f mindestens 3 ist. b) Skizzieren Sie einen…
Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 2 · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1 und Nullstellen 0 und 2a. a) Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 4/3 a^3 beträgt. b) Der Hochpunkt liegt auf einer Quadratseite, zwei…
Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 3 a - Graphen deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
Beurteilen Sie anhand des Graphen von f im Intervall [0; 2] die Aussage: 'Für jeden Wert von x mit 0 <= x <= 2 ist die Steigung des Graphen von f kleiner als 3.'
Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 3 b - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Mit dem Term pi * int_0^2 (f(x))^2 dx kann das Rotationsvolumen eines Körpers berechnet werden. Begründen Sie, dass dieses Volumen größer als pi * 0,5^2 + pi * 1^2 ist.
Aufgabe Gruppe 2 - Aufgabe 1 a - Transformationen · Funktionen und ihre Eigenschaften
Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von g mit g(x) = -f(x - 3) an.
Aufgabe Gruppe 2 - Aufgabe 1 b - Graphen deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
Der Graph einer Stammfunktion von f verläuft durch P. Skizzieren Sie diesen Graphen in der Abbildung.
Aufgabe Gruppe 2 - Aufgabe 2 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Eine Kosinusfunktion f hat die Periode p, einen Hochpunkt bei (p/2 | p) und einen Wendepunkt bei (p/4 | p/2). Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f an der Stelle p/4.

LK · Teil A · Analytische Geometrie (2023)

Themen der Prüfung: Lineare Gleichungssysteme · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Lineare Gleichungssysteme
Untersuchen Sie für das lineare Gleichungssystem (I: 2x + z = 0, II: -y + 2z = 0, III: 2y + bz = 1) in Abhängigkeit vom reellen Parameter b die Anzahl der Lösungen und geben Sie diese gegebenenfalls…
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 a - Geraden und Eben… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben sind die Punkte A(3|5|5) und B(1|1|1) sowie die Geraden g und h, die sich in B schneiden. g hat den Richtungsvektor (1, 2, 2)^T, h den Richtungsvektor (1, 0, 0)^T. Teilaufgabe a: Weisen Sie…
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 b - Längen, Winkel u… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte C und D so, dass C auf h liegt und das Viereck ABCD eine Raute ist.
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
a) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene x + y + z = 2 liegt. b) Weisen Sie nach, dass g und die Geradenschar h_a für jeden Wert von a windschief sind.
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Betrachtet wird ein Dreieck ABC mit A(0|0|0) und B(3|5|-4). Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig, AB ist eine Kathete und die zweite Kathete liegt in der x1x3-Ebene. Koordinaten eines…
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 a - Geraden und Eben… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Begründen Sie, dass die Geraden g und h nicht identisch sind.
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 b - Längen, Winkel u… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Die Gerade g soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade h abgebildet werden. Bestimmen Sie eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

LK · Teil A · Lineare Algebra (2023)

Themen der Prüfung: Lineare Gleichungssysteme · Matrizen und Übergangsprozesse

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Lineare Gleichungssysteme
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit den Gleichungen I: 2x + z = 0, II: -y + 2z = 0, III: 2y + bz = 1. Untersuchen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter b die Anzahl der Lösungen und…
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Übergangsprozess eines Brettspiels analysieren: Mögliche Spielregel für Feld B formulieren, zweite Zeile der Übergangsmatrix M angeben und Bedeutung der Einträge der Grenzmatrix im Sachzusammenhang…
Aufgabengruppe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Populationsentwicklung von Marienkäfern anhand von Potenzen der inversen Übergangsmatrix M^-1 untersuchen: a) Wert von a aus (M^-1)^2 bestimmen. b) Populationsentwicklung mit fortschreitender Zeit in…

LK · Teil A · Stochastik (2023)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 - Mehrstufige Zufall… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe a: Im gegebenen Sachzusammenhang (Urnenmodell mit Zurücklegen, drei Kugeln mit 2, zwei Kugeln mit negativer Zahl a) ein Ereignis angeben, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term 2 · 3/5 ·…
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe b: Die Zufallsgröße X gibt das Produkt der beiden gezogenen Zahlen an. Der Erwartungswert E(X) = 4. Bestimme den Wert der negativen Zahl a.
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Glücksradspiel mit den Zahlen 2 und 3 (Wahrscheinlichkeit p für 2). Es wird gedreht, bis die Summe 5, 6 oder 7 beträgt. Bei Summe 6 gewinnt die Person. a) Beschriftetes Baumdiagramm erstellen. b) Für…
Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
In Behälter B1 sind 5 rote Kugeln, in B2 sind 2 rote und n blaue Kugeln (n > 1). Eine Kugel wird zufällig von B2 in B1 gelegt. a) Wahrscheinlichkeit, dass nun in einem Behälter nur Kugeln derselben…
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders (Zahlen 1 bis 4) werden fünfmal geworfen. a) Ereignis zum Term (3/4)^5 angeben und begründen. b) Term für das Ereignis angeben, dass jede Zahl mindestens…
Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
In einen leeren Behälter werden drei Kugeln gelegt. Bei Wurf von 1 oder 2 gelb, sonst schwarz. a) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei schwarze Kugeln 20/27 beträgt. b)…

LK · Teil B · Analysis (CAS) (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Integralrechnung: Flächen und Bestände

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangent… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Analysis im Kontext einer Staulänge an einer Baustelle mit der momentanen Änderungsrate f(x) = x*(8-5x)*(1-x/4)^2: Bestimmung der Zeitpunkte mit Änderungsrate null samt Begründung aus der…
Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben e bis h zur Modellierung der Staulänge: Begründung der Bestandsfunktion s(x) und vollständige Stauauflösung um 10:00 Uhr, Berechnung der Zunahme der Staulänge von 06:30 bis 08:00 Uhr…
Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a und b zu Funktionen und ihren Eigenschaften: Grenzverhalten der Funktionenschar h_k(x) = (x - 3)^k + 1 für x gegen minus unendlich untersuchen und gemeinsame Punkte aller Graphen…
Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 - Differentialrechnung: Tangent… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Analysis Schar hk(x) = (x-3)^k + 1. c) Beurteilen der Aussage, dass es genau ein k gibt, für das der Graph von h'k Tangente an hk ist. d) Begründen, dass das Viereck PQRS ein Trapez ist, und zeigen,…
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangent… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben a, b, d und g: Kleinste Steigung im Wendepunkt von G_{3/2} berechnen, Schnittpunkte mit den Achsen und Tiefpunkt begründen, Parameter a für ein gleichschenkliges Dreieck aus…
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Bestimmen Sie den positiven Wert des Scharparameters a, für den der Graph G_a und die Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließen.
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe e: Zeigen, dass der Abstand der beiden Schnittpunkte mit der x-Achse für b > 0 unabhängig vom Parameter a ist.
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Graphen von f, f′ und F deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
Erhöht man im Term von f_(a,b) den Wert von b um 1, erhält man f'_{a,b} = f_(a,b+1). Entscheiden Sie anhand von Abbildung 2, welcher der Graphen I und II zum größeren Wert von b gehört, und begründen…
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe a: Nachweisen, dass h bei x = 2 keinen Sprung aufweist, und Graphen in Abb. 3 vervollständigen. Teilaufgabe d: Rechnerisch den größten Abstand zweier Zeitpunkte mit gleichem…
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 2 - Differentialrechnung: Tangent… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat, und geben Sie diesen Schalldruckpegel an.
Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 2 - Integralrechnung: Flächen und… · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie unter Verwendung der gegebenen geometrischen Definition den durchschnittlichen Funktionswert von h über dem Intervall [0; 4].

LK · Teil B · Analysis (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände

Aufgabe 1 (WTR 1) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Aufgabe 1 (WTR 1) Teilaufgaben a bis d: Bestimmung der Zeitpunkte mit f(x) = 0 und Begründung anhand der Linearfaktoren; Deutung von f(2) < 0 im Sachzusammenhang; rechnerische Bestimmung des…
Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben e bis g: Stammfunktion nachweisen, Zunahme und mittlere Änderungsrate der Staulänge berechnen sowie Zeitpunkt gleicher Staulänge grafisch begründen.
Aufgabe 2 (WTR 1) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a und b: Grenzverhalten für x gegen minus unendlich und gemeinsame Punkte aller Graphen der Schar h_k bestimmen.
Aufgabe 2 (WTR 1) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe c: Beurteilen der Aussage, dass es genau einen Wert k gibt, für den der Graph von h'_k Tangente an h_k ist. Teilaufgabe d: Begründen, dass das Viereck PQSR ein Trapez ist, und Nachweis,…
Aufgabe 1 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Hängebrücke: a) Gesamtlänge der Fahrbahn über Nullstelle von r(x) zeigen (640 m). b) Term l(x) und Definitionsintervall für linkes Abspannseil angeben. c) Pfeilerhöhe über der Wasseroberfläche…
Aufgabe 1 (WTR 2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft.
Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks in der Realität, das vom rechten Pfeiler, dem Abspannseil und der Fahrbahn begrenzt wird.
Aufgabe 2 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
Tragseilmodellierung: a) Achsensymmetrie begründen. b) Gleichung für Punkteabstand (40 m horizontal, 5 m vertikal) angeben. e) Tragseillänge über Kreisbogen berechnen.
Aufgabe 2 (WTR 2) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Geben Sie die Bedeutung des Terms sum_{k=1}^{24} s(-20+1,6*k) * 10 im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe.
Aufgabe 2 (WTR 2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Die Lösung der Gleichung (s(x)-0)/(x-20) * s'(x) = -1 ermöglicht die Berechnung eines Abstands im Sachzusammenhang. Geben Sie an, um welchen Abstand es sich handelt, und begründen Sie Ihre Angabe.

LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2023)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

Aufgabe 1 (MMS 1) - Längen, Winkel und Abstände i… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a, c und d: Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche bestimmen und prüfen, ob die beiden anderen Flächen orthogonal zueinander sind. Begründen, dass der Abstand der Werbefläche…
Aufgabe 1 (MMS 1) - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben b, e, f und g: Werte von a und b für die Ebenengleichung a*x_1 + a*x_2 = b ermitteln; Koordinaten des Schnittpunkts H bestimmen; besondere Lage und Gleichung der Ebene L angeben;…
Aufgabe 1 (MMS 2) - Längen, Winkel und Körper · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a, b, f und g zur analytischen Geometrie: Nachweis der Eigenschaften des Trapezes ABCD, Berechnung des Flächeninhalts von ABCD, Bestimmung der Art des Vierecks ABC'_t D'_t mit Begründung…
Aufgabe 1 (MMS 2) - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben c, d und e zur analytischen Geometrie: Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform, Bestimmung zweier zum Ursprung symmetrischer Punkte auf der Schnittgeraden mit der x1x3-Ebene…

LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a, c und d: Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche und Überprüfung des rechten Winkels zwischen den anderen beiden Werbeflächen; Begründung zum Abstand der Werbefläche zum…
Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben b, e, f und g zur analytischen Geometrie: Aufstellen von Ebenengleichungen, rechnerisches Beschreiben eines Durchstoßpunktes (Sichtlinie/Gerade mit Ebene), Untersuchung der Lage der…
Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe a: Eine Koordinatengleichung der Ebene L durch die Punkte D, E und F bestimmen. Teilaufgabe e: Den größten Bereich ]a;b[ für den Scharparameter k bestimmen, für den die Ebene Nk jeweils…
Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe 2 (Teilaufgaben b, c, d, f, g): Bestimmung des Schnittwinkels der Ebene L mit der x1x2-Ebene, Veranschaulichung des Flächeninhalts von Dreieck ABC in der Abbildung, Berechnung des Volumens…

LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2023)

Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse

Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Modellierung eines Computerspiels mit Münzen (1er, 2er, 8er) und Übergangsmatrix M. Bestimmung des Übergangsdiagramms, Beurteilung einer Aussage zur Gesamtzahl der Münzen, Untersuchung vorgegebener…
Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Untersuchung von Pyramiden A_k B_k C D S im Raum mit k in [0; 7[: Begründen der Trapezeigenschaft und k für Rechteck bestimmen; k für Kantenwinkel von 60° ermitteln; graphische Ermittlung aller…

LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse

Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Mehrstufiger Produktionsprozess mit Rohstoffen, Zwischen- und Endprodukten über Matrizen modelliert: Wert und Bedeutung von s bestimmen; Bedarf an R3 berechnen; Nicht-Invertierbarkeit von C deuten;…
Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Der Koordinatenursprung O sowie die Punkte P(-2|4|-2) und Q(-4|2|2) sind Eckpunkte eines Dreiecks. a) Der Innenwinkel bei Q beträgt 60°. Bestimmen Sie die Größen der beiden anderen Innenwinkel. b)…

LK · Teil B · Stochastik (CAS) (2023)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

Aufgabe MMS 1 - 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Das Glücksrad mit 10 gleich großen Sektoren (0 bis 9) wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für: A: „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.“ B: „Es wird mehr…
Aufgabe MMS 1 - 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse C: „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4“ und D: „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3“ stochastisch…
Aufgabe MMS 1 - 3 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Spiel mit dem 10-teiligen Glücksrad (Zahlen 0 bis 9). Bei einer '0' endet das Spiel ohne Auszahlung, andernfalls wird die Summe ausgezahlt. a) Wahrscheinlichkeit für Auszahlung bei 4 Drehungen. b)…
Aufgabe MMS 1 - 4 · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Betrachtet wird ein zehnseitiger Holzkörper (Zahlen 0 bis 9). a) Bei 80 Würfen 12-mal die '0'. Untere Grenze des 95%-Konfidenzintervalls ≈ 0,09. Begründen, dass obere Grenze > 0,1 ist, und Bedeutung…
Aufgabe MMS 2 - 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Stochastik: Baumdiagramm zur Urlaubsreise-Zufriedenheit, Bestimmung von a für P(Z)=77,8 %, Vergleich der Anteile für a=0,7, Bedingung für stochastische Unabhängigkeit und Begründung der Zunahme von…
Aufgabe MMS 2 - 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe a: Zeigen, dass P(1 Strandkorb) um weniger als 0,001 von 1 abweicht, und Erwartungswert des Gewinns für Personen mit einem Strandkorb berechnen. Teilaufgabe b: Bei n = 80000 den…
Aufgabe MMS 2 - 2 - Beurteilende Statistik: Tests und Int… · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe c: Begründen unter Verwendung der Abbildung sowie des Fehlers 2. Art, unter welcher Bedingung sich der größere Stichprobenumfang n_2 für das Reiseunternehmen lohnen könnte.

LK · Teil B · Stochastik (WTR) (2023)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1 Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A: 'Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.' und B: 'Es wird mehr als siebenmal und…
Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
2 Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse C: 'Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4.' und D: 'Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3.' stochastisch…
Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe 3: Glücksradspiel mit Abbruch bei 0. a) Wahrscheinlichkeit für Auszahlung bei 4 Drehungen. b) Erwartungswert bei Stand 60 vor einer weiteren Drehung und Handlungsempfehlung. c) Beurteilung…
Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 4 · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Aufgabe zu Konfidenzintervallen beim Werfen eines zehnseitigen Holzkörpers bezüglich der Wahrscheinlichkeit, die Ziffer 0 zu erzielen. a) Begründung zur oberen Grenze des Konfidenzintervalls und…
Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Urlaubsbefragung zu Geschlecht (W: weiblich, 45 %) und Zufriedenheit (Z: 80 % bei Frauen, a bei nicht weiblichen Personen). Gesucht sind ein Baumdiagramm, der Wert a für P(Z)=77,8 %, ein Nachweis für…
Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 (a, b) - Zufallsgrößen · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe 2 (a, b): Erwartungswert des Gewinns und symmetrisches Wahrscheinlichkeitsintervall der Binomialverteilung beim Strandkorb-Gewinnspiel.
Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 (c) - Hypothesentest · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Aufgabe 2 (c): Beurteilung eines Signifikanztests für die Nullhypothese p >= 2 % mit Signifikanzniveau 5 % bei zwei Stichprobenumfängen n1 < n2. Gegeben ist der Graph der Ablehnwahrscheinlichkeit in…
Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe 1 zu fehlerhaften Olivenölflaschen und Kartonlieferungen (Binomialverteilung): a) Interpretation des Terms 0,985^12 im Sachkontext; b) Mindestanzahl gelieferter Flaschen, sodass im Mittel…
Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Normalverteilte Füllmenge (Erwartungswert 600,5 ml, Standardabweichung 0,23 ml). Berechne P(X > 601) und P(600 <= X <= 601), begründe die Sinnhaftigkeit der Normalverteilung für nicht-negative…
Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 3 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bei n Flaschen und n verschiedenen Motiven soll die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Motive verschieden sind, kleiner als 1 % sein. Ermittle den kleinsten ganzzahligen Wert von n.

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Übe ein Thema mit gemischten Aufgaben aus den Prüfungen und dem IQB-Pool aller Jahre.

Längen, Winkel und Abstände im Raum · 272 Aufgaben · 45 % Wahrscheinlichkeit
Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · 462 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
Integralrechnung: Flächen und Bestände · 419 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · 306 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
Funktionen und ihre Eigenschaften · 329 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · 217 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit

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