Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit speziellen Fahrzeugen, den Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW beträgt.

Für ein Rennen eines solchen Dragsters beschreibt die Funktion $f$ mit der Gleichung die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit:

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$ Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ für die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

a) (1)

Geben Sie den Wert der Funktion $f$ an der Stelle 2 an und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

a) (2)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Stelle $t_{\text{max}}$, an der $f$ maximal wird, und geben Sie die höchste Geschwindigkeit des Dragsters an.

[Zur Kontrolle: $t_{\text{max}} = 6$.]

a) (3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.