Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Qualität erkennt man an der Güte des Schraubenkörpers sowie an der Güte der darauf aufgebrachten Beschichtung.

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

b)

(1)

Für eine Untersuchung entnimmt man der Produktion zufällig $500$ Schrauben.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $15$ dieser Schrauben fehlerhaft sind.

(2)

Ermitteln Sie die Mindestanzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens $200$ davon fehlerfrei sind.

c)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben.

„Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

(1)

Ermitteln Sie die Mindestanzahl an Schrauben, die produziert werden muss, damit in dieser Produktion der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens $5000$ beträgt.

(2)

Produziert werden $5236$ Schrauben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ deckt.

e)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\mathrm{m}$) beschreiben.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schichtdicke (in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig gewählten Schraube im Bereich von $7{,}5$ bis $8{,}5$ liegt.

(2)

Hat eine Normalverteilung die Dichtefunktion $\varphi$, so heißt die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\,\mathrm{d}t$ ihre Verteilungsfunktion.

Abbildung 1 zeigt die Dichtefunktion einer Normalverteilung, Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie für jede der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann.

Ja

Nein

Ja

Nein