Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Nachtermin · GTR

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x+10)\,\mathrm{e}^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

Das Umweltbundesamt erfasst regelmäßig, wie viel Stickstoffdioxid in der Luft enthalten ist. In Düsseldorf wurde über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) gemessen; die Messwerte werden durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \quad 0 \le t \le 10$$

beschrieben. Dabei gibt $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden an und $k(t)$ die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie $k'(8)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der Aufgabe.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x+10)\,\mathrm{e}^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(1) Geben Sie sowohl die Nullstelle von $f$ als auch den Punkt an, in dem der Graph von $f$ die $y$-Achse schneidet.

a)

$x =$

b)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x+10)\,\mathrm{e}^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(2) Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ an der Stelle $x = -2$ besitzt.

a)

$f'(x) =$

b)

$f'(-2) =$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Berechnen Sie $\int_{-1}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$.

Nur eine der beiden Funktionen ist keine Stammfunktion von $f$.

Begründen Sie mithilfe der Funktionsgraphen, bei welcher der Funktionen $A$ und $B$ es sich nicht um eine Stammfunktion von $f$ handelt.

Es seien $Q(-2|4|-1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gerade $g$ durch den Punkt $P(10\mid 8\mid 5)$ verläuft.

Es seien $Q(-2|4|-1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(2)

Bestimmen Sie die Koordinaten sämtlicher Punkte der Geraden $g$, deren Entfernung vom Punkt $Q$ $35$ LE beträgt.

$P_1($ $\mid$ $\mid$ $)$

$P_2($ $\mid$ $\mid$ $)$

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x+10)\,\mathrm{e}^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

e) Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A$, $B$ und $C$ bilden ein Parallelogramm $OABC$. Abbildung 3 zeigt dieses Parallelogramm $OABC$ samt seinen Diagonalen $e$ und $f$.

(1)

Es seien die Vektoren $\vec{u} = \vec{OA} + \vec{AB}$ und $\vec{v} = \vec{OA} - \vec{AB}$ betrachtet.

Einer dieser beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ verläuft entlang der Diagonalen $e$, der andere entlang der Diagonalen $f$.

Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren der Diagonalen $f$ zuzuordnen ist.

$\vec{u}$

$\vec{v}$

Für die weiteren Teilaufgaben gilt: Die Eckpunkte $A$ und $B$ besitzen die Koordinaten $A(2|0|2\sqrt{3})$ und $B(4|-3|3\sqrt{3})$.

(2)

Zeigen Sie, dass der Eckpunkt $C$ bei $C(2|-3|\sqrt{3})$ liegt.

(3)

Zeigen Sie, dass die Diagonalen $e$ und $f$ aufeinander senkrecht stehen.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

Das Umweltbundesamt erfasst fortlaufend, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R},\; 0 \le t \le 10$$

modelliert. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

µg/m³

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\frac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie $k'(8)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(1) Geben Sie sowohl die Nullstelle von $f$ als auch den Punkt an, in dem der Graph von $f$ die $y$-Achse schneidet.

a)

x =

b)

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(2) Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ an der Stelle $x = -2$ besitzt.

m =

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

(1)

Berechnen Sie $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

(2) Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$. Von diesen beiden Funktionen ist genau eine keine Stammfunktion von $f$.

Begründen Sie mithilfe der Graphen, bei welcher der beiden Funktionen $A$ und $B$ es sich nicht um eine Stammfunktion von $f$ handelt.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

Eine Firma erstellt einen Test, der aus mehreren Fragen besteht. Bei jeder Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die Antwort durch Raten richtig zu treffen, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, obwohl er sich nie mit dem Thema befasst hat; er rät daher bei jeder Frage.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele Fragen richtig beantwortet werden, und wird als binomialverteilt angenommen.

Bedingt durch den Aufbau des Tests ist zu erwarten, dass Jonas beim Raten sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Jonas von 24 Fragen genau sechs richtig beantwortet.

(3)

Jonas will mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % mindestens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas dafür mindestens bearbeiten muss:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

e) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 4$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Ermitteln Sie die Werte, die in der nachstehenden Tabelle noch fehlen.

$k$

0

1

2

3

4

$P(X = k)$

$\frac{1}{16}$

$\frac{1}{16}$

Von den beiden folgenden Abbildungen 3 und 4 zeigt nur eine die kumulierten Werte $P(X \le k)$ der Zufallsgröße $X$. Die andere Abbildung gehört zu einer anderen Zufallsgröße.

(2)

Entscheiden Sie begründet, welcher der beiden Abbildungen 3 und 4 die Zufallsgröße $X$ zuzuordnen ist.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(2x+10)\cdot e^{5x+3},\quad x \in \mathbb{R}$.

Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \ 0 \le t \le 10$$

beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

$\mu\text{g}/\text{m}^3$

(2)

Berechnen Sie, welchen Wert der Term $\frac{k(10)-k(8)}{10-8}$ annimmt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie $k'(8)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der Sachsituation.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(2x+10)\cdot e^{5x+3},\quad x \in \mathbb{R}$.

(1) Geben Sie sowohl die Nullstelle von $f$ als auch den Punkt an, in dem der Graph von $f$ die $y$-Achse schneidet.

•

$x =$

•

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(2x+10)\cdot e^{5x+3},\quad x \in \mathbb{R}$.

(2) Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ an der Stelle $x = -2$ hat.

•

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

(1)

Berechnen Sie $\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

(2) Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$.

Nur eine dieser beiden Funktionen ist keine Stammfunktion von $f$.

Begründen Sie mithilfe der Graphen, welche der beiden Funktionen $A$ und $B$ keine Stammfunktion von $f$ ist.

Es seien $Q(-2|4|-1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gerade $g$ durch den Punkt $P(10|8|5)$ verläuft.

t =

Es seien $Q(-2|4|-1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(2)

Bestimmen Sie die Koordinaten sämtlicher Punkte der Geraden $g$, deren Entfernung zum Punkt $Q$ $35\,\text{LE}$ beträgt.

( | |)

( | |)

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=(2x+10)\cdot e^{5x+3},\quad x \in \mathbb{R}$.

e) Ein Unternehmen erstellt einen Test aus mehreren Fragen. Bei jeder Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort zu erraten, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, ohne sich jemals mit dem Thema befasst zu haben; er wählt daher bei jeder Frage seine Antwort zufällig.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen und wird als binomialverteilt angenommen.

Wegen der Konstruktion des Tests ist zu erwarten, dass Jonas durch Raten sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht. [1 Punkt]

(2)

Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Jonas von 24 Fragen genau sechs richtig beantwortet. [2 Punkte]

(3)

Jonas will mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % mindestens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas hierfür mindestens bearbeiten muss. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW reichen kann.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster die Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie den Wert an, den $f$ an der Stelle 2 annimmt, und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Im weiteren Verlauf darf ohne Herleitung verwendet werden: $f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot\left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

(2)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Stelle $t_{\text{max}}$, an der $f$ maximal wird, und geben Sie an, welche höchste Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: $t_{\text{max}} = 6$.]

(3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert erreicht.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW reichen kann.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster die Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a)(4)

Mit $F(t)$ soll die Strecke modelliert werden, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zu einem Zeitpunkt $t$ zurücklegt. Dabei muss die Funktion $F$ die Bedingung $F'(t)=f(t)$ erfüllen.

(i) Begründen Sie, dass $F$ allein durch die Bedingung $F'(t)=f(t)$ noch nicht eindeutig bestimmt ist.

(ii) Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an, die $F$ neben $F'(t)=f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen eindeutig festgelegt ist.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Starts des Dragsters befindet es sich unmittelbar neben ihm. Diese konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ modelliert; $g(t)$ ist die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in Abbildung 1 ein und ermitteln Sie, für welche Dauer innerhalb der ersten sechs Sekunden das Kamerafahrzeug schneller als der Dragster ist.

(2)

Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3)

Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start ungefähr gleich lange Strecken zurück. Begründen Sie dies mithilfe von Abbildung 1.

(4)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_0^1 (g(t)-f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

c)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters in der Phase mit konstanter Geschwindigkeit in Abbildung 2 grafisch dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert. [Zur Kontrolle: Etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert der Dragster die Ziellinie.]

Der Fahrer leitet acht Sekunden nach dem Start das Bremsen ein. Ab diesem Zeitpunkt beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach $20$ Sekunden steht der Dragster.

(2)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs in Abbildung 2 grafisch dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung für die Funktion $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ mit der Länge $805\text{ Metern}$ an. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone zum Stehen kommt.

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, die durch $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$) gegeben ist.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1 dargestellt:

a)

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Punkt $W_2\left(1\,\middle|\,-\frac{5}{8}\right)$ ist ein Wendepunkt des Graphen von $f$.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $f$. (5 Punkte)

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^4 - \frac{3}{4}\cdot x^2,\; x \in \mathbb{R}$.]

Vergleichen Sie Ihren Lösungsweg mit der offiziellen Musterlösung.

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, die durch $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$) gegeben ist.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1 dargestellt:

b)

Ermitteln Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion $f$. [5 Punkte]

d) (1)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Graph der Funktion $t$ mit $t(x) = -\frac{9}{16}x - \frac{27}{128}$, $x \in \mathbb{R}$, den Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{3}{2} \;\middle|\; f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$ tangential berührt. [2 Punkte]

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, die durch $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$) gegeben ist.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1 dargestellt:

Teilaufgabe c

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

c)(1)

Zeichnen Sie die Sekante in Abbildung 1 ein.

Die Sekante und der Graph von $f$ besitzen außerdem Schnittpunkte bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

c)(2)

Weisen Sie rechnerisch nach: $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x = 0$.

c)(3)

c)(4)

Geben Sie jetzt ohne zusätzliche Rechnung die Werte der folgenden Integrale an und begründen Sie Ihre Angaben (z. B. mithilfe von Abbildung 1):

Teilaufgabe d(2)

d)(2)

Zwischen den Graphen der Funktionen $f$ und $t$ liegt eine Fläche, die sich aus zwei Teilflächen zusammensetzt. Eine Schülerin vermutet, dass die größere Teilfläche mehr als das Achtfache der kleineren Teilfläche beträgt. Prüfen Sie, ob diese Vermutung stimmt.

Teilaufgabe e

Für jede reelle Zahl $a > 0$ schließen der Graph der Funktion $p_a$ mit der Gleichung $p_a(x) = a\cdot x^2$ und der Graph der Funktion $f$ im Bereich $x \ge 0$ eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch die $x$-Achse unterteilt.

Abbildung 2 auf dieser Seite dient als Arbeitshilfe und entspricht inhaltlich Abbildung 1.

e)(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen von $p_{0{,}3}$ (mit $a=0{,}3$) ein:

e)(2)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von $a$ die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$, an denen gemeinsame Punkte der Graphen von $p_a$ und $f$ liegen.

[Zur Überprüfung: $x_1 = -\sqrt{6+8\cdot a},\, x_2 = 0,\, x_3 = \sqrt{6+8\cdot a}$.]

e)(3)

Ermitteln Sie einen Ansatz, mit dem sich der Wert von $a$ berechnen lässt, für den die $x$-Achse die eingeschlossene Fläche in zwei gleich große Teile teilt.

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Häuser des Ortes reichen direkt bis an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

a) (3)

Stellen Sie eine Parametergleichung für diejenige Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

b)

Damit eine Landung sicher verläuft, muss das Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ mit einer Länge von $20\text{ m}$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Sie teilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 392{,}25 \\ 0 \\ 16{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in [0;1], \text{ ist eine Parameterform der Strecke } s.$$Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug entlang der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$Prüfen Sie rechnerisch, ob das Flugzeug aufsetzt im ersten Viertel der Landebahn, wenn es seinen Kurs beibehält.

Ja

Nein

c) (1)

Damit Landungen sicher bleiben, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R}, \text{ im Abstand von } 12\text{ m zur Landebahn fliegen.}$$Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachzusammenhang liegt.

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Häuser des Ortes reichen direkt bis an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten für den Punkt $C$ an.

$|$

$|$

$)$

a) (2)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Landebahn eine Länge $|\overline{AD}|$ von ca. $527\text{ m}$ besitzt.

a) (4)

Berechnen Sie den Winkel, um den die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, sowie die prozentuale Steigung der Landebahn.

c) (2)

Zeigen Sie, dass $\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix}$ sowohl auf $\begin{pmatrix} 523 \\ 65 \\ -65 \end{pmatrix}$ als auch auf $\begin{pmatrix} -523 \\ -20 \\ 65 \end{pmatrix}$ senkrecht steht.

c) (3)

Der Vektor $\vec{v}$ ist orthogonal zur Ebene $E$.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Parametergleichung einer passenden Geraden $h$.

[Hinweis: Der Abstand ist senkrecht zur Landebahn zu messen.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie sich die Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

In Deutschland ergibt sich für die Bevölkerung ungefähr die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

a) Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, müssen die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor berücksichtigt werden. Gemeinsam legen beide Merkmale fest, welche Person für welche andere als Blutspender infrage kommt.

(1)

Weisen Sie nach, dass von den Personen mit der Blutgruppe B etwa $18{,}2\,\%$ den Rhesusfaktor negativ haben.

(2)

Aus den Personen der Blutgruppe B werden zufällig zwei ausgewählt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie sich die Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

In Deutschland ergibt sich für die Bevölkerung ungefähr die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

b) Für die folgenden Teilaufgaben gilt bei jeder Blutgruppe die Annahme, dass die Zahl der Personen mit dieser Blutgruppe in einer Zufallsauswahl von 200 Personen binomialverteilt ist. Die relativen Häufigkeiten der Tabelle auf Seite 1 sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 200 zufällig ausgewählten Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben. [2 Punkte]

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis $E$:

$E$: Die Zahl der Personen mit Blutgruppe A unter 200 zufällig ausgewählten Personen liegt höchstens 1,5-Standardabweichungen von ihrem Erwartungswert entfernt. [4 Punkte]

c) Blut der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ hat eine besondere Bedeutung. Wegen seiner guten Verträglichkeit kommt es in Notfällen besonders oft zum Einsatz.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 20 Spenden der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ erhält. [4 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie sich die Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

In Deutschland ergibt sich für die Bevölkerung ungefähr die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppenzugehörigkeit kann Einfluss auf die Schwere des Verlaufs von Erkrankungen haben. Bei einer speziellen Erkrankung liegt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der Gesamtbevölkerung bei $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin vermutet, dass bei Menschen mit Blutgruppe A eine geringere Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf dieser Erkrankung vorliegt. Sie möchte dies überprüfen. Hierzu betrachtet sie die Krankheitsverläufe von $1\,000$ zufällig ausgewählten Personen mit Blutgruppe A, die an dieser Krankheit erkrankt sind, und sie stellt die Anzahl der Personen mit einem schweren Verlauf fest.

Nur wenn in der Stichprobe höchstens $84$ Personen einen schweren Krankheitsverlauf hatten, geht sie davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Erkrankten mit Blutgruppe A unter $10\,\%$ liegt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin eine geringere Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A annimmt, obwohl diese in Wirklichkeit $10\,\%$ beträgt.

[2 Punkte]

(2)

Nun sei angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A in Wirklichkeit nur $8\,\%$ beträgt.

Bestimmen Sie unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin dennoch schlussfolgert, die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A sei nicht kleiner als $10\,\%$.

[3 Punkte]

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit starken Temperaturwechseln in ihrer Umgebung zurechtkommen und finden zudem nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von 0 Uhr bis 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Dabei gibt $t$ mit $0 \le t \le 20$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ die Körpertemperatur in Grad Celsius an. Der Graph von $k$ ist in Abbildung 1.

a)

(1)

Ermitteln Sie die Zeitdauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens 38 °C erreicht oder übersteigt.

(2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren fällt sie aufgrund ihrer Anpassung an die Wüste deutlich größer aus als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum ist.

(3)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum am stärksten zunimmt.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit starken Temperaturwechseln in ihrer Umgebung zurechtkommen und finden zudem nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von 0 Uhr bis 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Dabei gibt $t$ mit $0 \le t \le 20$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ die Körpertemperatur in Grad Celsius an. Der Graph von $k$ ist in Abbildung 1.

b)

Der durchschnittliche Wert einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen.

Berechnen Sie für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr die mittlere Körpertemperatur des Dromedars.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit starken Temperaturwechseln in ihrer Umgebung zurechtkommen und finden zudem nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von 0 Uhr bis 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Dabei gibt $t$ mit $0 \le t \le 20$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ die Körpertemperatur in Grad Celsius an. Der Graph von $k$ ist in Abbildung 1.

c) Für weitere Dromedare lässt sich die Körpertemperatur für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise mithilfe von Funktionen $f_a$ modellieren mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120} t^3 + \frac{1}{4} t^2 - \frac{779}{480} t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Wert von $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ der jeweilige Graph zugeordnet ist.

Graph I: $a =$

Graph II: $a =$

Graph III: $a =$

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\text{ }^\circ\text{C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ diese Bedingung durch die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ erfüllt wird.