Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=9\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung$$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$Es gilt $g_{1{,}5}=f$.

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$-Achse sowie genau einen Hochpunkt $H$.

Geben Sie $N$ mit seinen Koordinaten an.

N:

Ermitteln Sie, welche Koordinaten der Punkt $H$ hat.

H:

a) (4)

Für jedes $3 < u \le 9$ sind $N(3|0)$, $P(9|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i)

Begründen Sie, dass für den Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ die Gleichung $A_{NPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ gilt und er sich damit berechnen lässt.

(ii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ am größten ist.

(iii)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ 4 Flächeneinheiten beträgt.

b)

Für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ ist der Punkt $R(z|f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 3,9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (i)

Begründen Sie, warum die Bedingungen I und II gewählt werden.

(1) (ii)

Erläutern Sie, was der Term auf der linken Seite der Gleichung in Bedingung III bedeutet.

(2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 3,9428$.

(i) Bestimmen Sie für $z = 3,9428$ rechnerisch die Gleichung der Funktion $t$, deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z|f(z))$ ist.

(ii) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $t$.

Nullstelle $c$ =

c)

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung $g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)},\ x \in \mathbb{R}$. Es gilt $g_{1,5} = f$.

(1)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar $g_k$ die $x$-Achse nur in einem Punkt schneidet.

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch Art und Koordinaten des Extrempunktes des Graphen von $g_k$ abhängig von $k$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstelle ist $x = 3 + \frac{1}{k}$.]

Art:

Punkt $H_k$:

(3)

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{4}{\mathrm{e}\cdot(x-3)}$ für $x \in \mathbb{R},\ x \ne 3$.

(i) Weisen Sie nach, dass sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar $g_k$ auf dem Graphen von $h$ liegen.

(ii) Geben Sie einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_k$ mit $k > 0$ ist.

Punkt:

(5)

Die Graphen der Funktionen $g_{1,5}$ und $g_{2,6}$ schneiden sich nur im Punkt $N(3|0)$ und in einem weiteren Punkt $S$.

(i) Geben Sie den Hochpunkt des Graphen von $g_{2,6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1,5}$ und $g_{2,6}$.

Hochpunkt von $g_{2,6}$:

Schnittpunkt $S$:

(ii) Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g_{2,6}$ in Abbildung 3.

(6)

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründen Sie ohne weitere Berechnung anhand des Hochpunktes, ob $a$ größer oder kleiner als 1,5 ist.