Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Temperaturwechsel in ihrer Umgebung aushalten und finden nur selten Trinkwasser. Deshalb wird die Körpertemperatur durstender Dromedare so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a) (2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren ist sie aufgrund ihrer Anpassung an das Wüstenleben erheblich größer als beim Menschen.

Bestimmen Sie die Temperaturspanne des Dromedars für den betrachteten Zeitraum durch eine Rechnung.

d) (2)

Für einige weitere Dromedare wird die Körpertemperatur im Bereich $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise durch Funktionen $f_a$ modelliert mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Selbst unter extremen Bedingungen liegt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars weder über $42\text{ }^{\circ}\text{C}$ noch unter $34\text{ }^{\circ}\text{C}$.

(i)

Begründen Sie, ohne weiter zu rechnen, dass $f_a$ die gleichen Extremstellen besitzt wie die Funktion $k$, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii)

Ermitteln Sie die Werte von $a$, für die $f_a(t)$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ weder größer als $42$ noch kleiner als $34$ ist.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht untersucht werden.