Aufgabe B1 - Teilaufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

a) Ein Dragster erreicht schon nach zwei Sekunden eine Geschwindigkeit von $50\text{ m/s}$.

(1)

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $k$.

(2)

Bei einem zweiten Dragster ist $k = 0{,}2$.

Während der ersten vier Sekunden erreicht keines der beiden Fahrzeuge seine Höchstgeschwindigkeit. In diesem Zeitraum ist stets eines der beiden Fahrzeuge schneller als das andere.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster in diesen vier Sekunden die größere Geschwindigkeit hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Funktionsterme.